P3338 [ZJOI2014]力

求

\[E_j=\dfrac{F_j}{q_j} \]

原式变成

\[\dfrac{\sum_{i=1}^{j-1}\dfrac{q_i\times q_j}{\left(i-j\right)^2}-\sum_{i=j+1}^n\dfrac{q_i\times q_j}{\left(i-j\right)^2}}{q_j} \]

消去 \(q_j\)

\[\sum_{i=1}^{j-1}\dfrac{q_i}{\left(i-j\right)^2}-\sum_{i=j+1}^n\dfrac{q_i}{\left(i-j\right)^2} \]

设 \(g_i=\dfrac{1}{i^2}\)

\[\sum_{i=1}^{j-1}q_i\times g_{j-i}-\sum_{i=j+1}^n q_i\times g_{i-j} \]

令 \(g_0=q_0=0\)，前半部分变成加法卷积的形式

\[\sum_{i=0}^{j}q_i\times g_{j-i} \]

后半部分将下标全部翻转（\(i\) 变成 \(n-i\)）就和前半部分一模一样了。

用 FFT 加速，时间复杂度 \(O\left(n\log n\right)\)。

可以学到的技巧：

• 寻找和固定的下标。
• 翻转下标，即反着做。

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来源： https://www.cnblogs.com/May-2nd/p/14163455.html