纸牌均分问题

首先，如果有某序列\(a_i\)，则\(\sum_{i=1}^n|a_i-k|\)取最小值时，k为\(a_i\)的中位数。（因为如果是pos，则pos向靠近中位数的位置移动能更小），这个性质也能dp

有n个人站成一排，每个人有\(a_i\)张纸牌，求最小移动次数使得每个人纸牌数一样，一张纸牌交给旁边的人记为一次移动。
如果tot是n的倍数，则有解，设t=tot/n
遍历一遍，对于第i个人，ans+=abs(a[i]-t)，a[i+1]-=t-a[i]。
也就是：\(ans=|a_1-t|+|a_2+a_1-2t|+|a_3+a_2+a_1-3t|+\dots+|\sum_{i=1}^na_i-nt|\)
如果令\(s_k=(\sum_{i=1}^ka_i)-kt=\sum_{i=1}^k(a_i-t)\)
\(ans=\sum_{i=1}^n |s_i|\)
如果\(b_i=a_i-t\)，答案就是b的n个前缀和的绝对值之和。

如果是n个人站成一圈，那么，必然有两个人之间是没有交换的，将这两个人断开，变成一条链，假设在位置p和p+1之间断开，且s是原序列的前缀和，则新的前缀和从p+1处开始：
\(|s_{p+1}-s_p|\)
\(|s_{p+2}-s_p|\)
\(\dots\)
\(|s_n-s_p|\)
\(|s_n+s_1-s_p|\)
\(\dots\)
\(|s_n+s_{p-1}-s_p|\)
\(|s_n+s_{p}-s_p|\)
如果s是b的前缀和，则\(s_n=0\)
\(ans=\sum_{i=1}^n|s_i-s_p|\),欲使ans最小，\(s_p\)为s的中位数

有n个人,第i个人站在\(x_i\)的位置，求使他们站成连续的一列的最小花费。
显然，每个人的相对位置不变，设最终他们站在点a、a+1、... a+n-1点，则花费
\(ans=\sum_{i=1}^n |x_i-(a+i-1)|=\sum_{i=1}^n |(x_i-i+1)-a|\)，所以a是序列：
\(b_i=x_i-i-1\)的中位数。

标签：dots,前缀,纸牌,sum,中位数,问题,均分,ans
来源： https://www.cnblogs.com/foursmonth/p/14161865.html