2020-11-29

摘要
CYK算法是一个基于“动态规划”算法设计思想，用于测试串w对于一个上下文无关文法L的成员性的一个算法。CYK算法可以在O(n3)的时间内得出结果。CYK算法是由三个独立发现同样思想本质的人（J. Cocke、 D. Younger和T. Kasami）来命名的。这篇博客将主要介绍乔姆斯基范式、CYK算法的流程以及其代码实现。

1. 乔姆斯基范式
   任何一个非空且不含ϵ的上下文无关文法（CFL）都具有特殊形式的文法G。G中所有的产生式都属于以下两个简单的形式之一：
   (1). A→BC，其中A，B和C都是变元
   (2). A→a，其中a是终结符
   更进一步，G没有无用的符号。这样的文法就称为乔姆斯基范式或CNF。

将一个一般的CFL构造一个CNF的过程如下：
(1). 为每个出现在长度大于等于2的产生式中的终结符a创建一个新的变元A，该变元只有一个产生式A→a。接着，可以用A来替代所有产生式中出现的a。现在，所有产生式或者是单个终结符，或者是至少两个以上的变元并且没有终结符。
(2). 把所有形式为A→B1B2B3…Bk(k≥3)的产生式打断为以下一组产生式：A→B1C1,C1→B2C2,…,Ck−3→Bk−2Ck−2,Ck−2→Bk−1Bk。
现在，所有的产生式都符合CNF的定义。

2. CYK算法介绍
   CYK算法从一个CFL L的CNF文法G=(V,T,P,S)，输入是T中的串w=a1a2…an。该算法在O(n3)的时间内构造出一个表明w是否属于L的表。表的结构如图。水平轴对应串w=a1a2…an中的位置，图中假定n=5。xij是满足A⇒˙aiai+1…aj的变元A的集合。特别地，如果S属于集合x1n，那么w就属于L。
   这里写图片描述
   为了填写这个表，我们一行一行，自下而上地处理。每一行对应一种长度的子串。最下面一行对应长度为1的子串，倒数第二行对应长度为2的子串，以此类推。最上面一行就对应长度为n的子串，即w本身。计算该表的任何一个表项的方法如下：
   (1). 对于最下面一行的表项，即xii，是使得A→ai是G的产生式的变元A的集合。
   (2). 对于不在最下一行的表项，我们需要找到符合以下条件的变元A的集合：
   I. 整数k满足i≤k<j
   II. B属于Xik
   III. C属于Xk+1,j
   IV. A→BC是G的产生式

例如，对于下列CNF文法G的产生式:
S→AB|BC
A→BA|a
B→CC|b
C→AB|a
对L(G)测试baaba的成员性所构造的表如下图所示。下以x24为例来展示xij的计算。我们可以选择k=2或k=3。因此，必须考虑所有x22x34∪x23x44构成的产生体。这个串的集合是{A,C}{S,C}∪{B}{B}={AS,AC,CS,CC,BB}。该集合中只有CC是B→CC的产生体，因此x24={B}。
ExampleCYKTable

3. CYK算法的实现
   以下是CYK算法的核心函数。整个程序还包含了实现乔姆斯基范式的类、从文件读取乔姆斯基范式等关键功能的实现，由于篇幅原因不方便在此博客中全部展示。若要获取完整的可编译源文件，请访问Github：https://github.com/ssaalkjhgf/CYKAlgorithm.git

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//Use CYK algorithm to judge whether the string str is in the Chomsky normal form CFG
bool CYK(string str, const CNF& cnf) {
//Get each word in the string str
vector sentence = split(str, ’ ');
int wordCount = sentence.size();

//Allocate memory for CYKMat, a matrix of set storing all the parsing conditions of str[i..j]
set<Variable>** CYKMat = new set<Variable>*[wordCount + 1];
for (int i = 0; i <= wordCount; i++) {
    CYKMat[i] = new set<Variable>[wordCount + 1];
}

//Preprocess the words, get the CYKMat[i][i]
for (int i = 1; i <= wordCount; i++) {
    CYKMat[i][i] = cnf.produce(sentence[i - 1]);
}
//Calculate the rest part of CYKMat
//For each length
for (int length = 2; length <= wordCount; length++) {
    //For each starting position
    for (int i = 1; i <= wordCount - length + 1; i++) {
        //For each middle point of str[i..i+length-1]
        for (int k = i; k < i + length - 1; k++) {
            //Get the set of variables that CYKMat[i][k] and CYKMat[k+1][i+length-1] can produce
            set<Variable> tmp = cnf.produce(CYKMat[i][k], CYKMat[k + 1][i + length - 1]);
            //Union
            CYKMat[i][i + length - 1].insert(tmp.begin(), tmp.end());
        }
    }
}

//If CYKMat[1][wordCount] consists of the starting symbol, accept the string
if (CYKMat[1][wordCount].find(cnf.getStartSymbol()) == CYKMat[1][wordCount].end())
    return false;
else
    return true;

}

标签：11,变元,wordCount,29,CYKMat,CNF,算法,2020,CYK
来源： https://blog.csdn.net/qq_36501535/article/details/110306185