排队论模型的monteCarlo法仿真

排队论模型的monteCarlo法仿真

• • 一.问题的提出
  • 二.问题的分析
  • 三.代码实现
  • 四.结果

在我们的生活中，排队的现象几乎处处可见。看似毫无规则的排队模型其实里面蕴藏者很大的学问。比如说在一般的排队问题中，人们到达某个地方的时间间隔近似服从指数分布。而这篇博文的目的就是为了找出蕴藏在排队论中的一般规律，用monteCarlo法找到我们想要的结果。

一.问题的提出

​ 在某个银行的窗口只有一个服务窗口，工作人员逐个接待顾客。当顾客的数目比较多的时候需要排队等待。此时我们可以假设第 i i i个顾客和第 i − 1 i-1 i−1个顾客到来的间隔时间 x i ∼ E ( 0.1 ) x_i \sim E(0.1) xi​∼E(0.1)，即是服从参数为 0.1 0.1 0.1的指数分布。而第 i i i个顾客的服务时间服 y i y_i yi​从均值为 10 10 10，方差为 2 2 2的正态分布(单位为 m i n min min，少于1 m i n min min按1 m i n min min算。)排队依靠先到先得的原则，不限制队伍长度，每天的工作时间为 8 8 8小时( 480 m i n 480min 480min)。模拟求出一年内平均的日接待客户的个数和日平均等待时间。

二.问题的分析

​ 让我门对一天之内的排队过程进行一个细致的分析。做出以下的符号假设：

​ 若设 C i C_i Ci​:第 i i i个顾客的到达时刻，那么任意两个顾客之间的到达时间间隔就服从泊松分布：
C i = C i − 1 + x i x ∼ E ( 0.1 ) C_i = C_{i-1}+x_i\\ x\sim E(0.1) Ci​=Ci−1​+xi​x∼E(0.1)
​ 其中第一个顾客到来之前没有人来，所以 C 0 = 0 C_0 = 0 C0​=0。

​ 再设 B i B_i Bi​:第 i i i个顾客来办理业务的时刻，注意因为可能需要排队，所以 B i B_i Bi​可能不等于 C i C_i Ci​。

​ 然后再设 E i E_i Ei​:第 i i i个顾客办理完业务的时刻。所以有：
E i = B i + y i                         y i ∼ N ( 10 , 2 ) ( y i = 1 ,   i f y i ≤ 1 ) E_i = B_i+y_i\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad y_i \sim N(10,2)(y_i = 1,\ if \quad y_i \leq 1) Ei​=Bi​+yi​                       yi​∼N(10,2)(yi​=1, ifyi​≤1)
​ 其中第 i i i个顾客办理业务必须得在自己来了之后等上一个人弄完，否则就无法办理业务。说明：
B i = m a x { E i − 1 , C i } B_i = max\{E_{i-1},C_i\} Bi​=max{Ei−1​,Ci​}
​ 对于第一个人来说到了就可以马上办理业务： B 1 = C 1 B_1 = C_1 B1​=C1​。

​ 执行以上的迭代知到 B i ≥ 480 B_i\geq480 Bi​≥480为止。求出此时的 i i i作为平均等待人数。

​ 此时的平均等待时间为:
T i = 480 m i n i T_i = \frac{480 min}{i} Ti​=i480min​

​ 因此我们可以仿真365天每天的结果用monteCarlo方法求出平均等待时间和平均等待人数。
T ‾ = 1 365 ∑ j = 1 365 T j i ‾ = 1 365 ∑ j = 1 365 i j \overline T = \frac{1}{365}\sum_{j = 1}^{365}T_j\\ \overline i = \frac{1}{365}\sum_{j = 1}^{365}i_j T=3651​j=1∑365​Tj​i=3651​j=1∑365​ij​

三.代码实现

%基于排队论模型的montecarlo方法应用
clc,clear;
days = 365;%一年有365天
peopleNumbers = zeros(1,days);
waitTime = zeros(1,days);
for j = 1:days
    x(1) = exprnd(10);%x(i):第i-1个顾客和第i个顾客到达时间的间隙
    c0 = 0;%c(i)：第i个顾客到达的时间
    c(1) = c0+x(1);
    b(1) = c(1);%b(i):第i个顾客开始服务的时间
    y(1) = normrnd(10,2);%y(i):第i个顾客持续服务的时间
    e(1) = b(1)+y(1);%e(i):第i个顾客结束服务的时间
    i = 1;
    while b(i)<=480%一天工作8小时
       i = i+1;
       x(i) = exprnd(10);
       y(i) = normrnd(10,2);
       if y(i) <= 1
           y(i) = 1;
       end
       c(i) = c(i-1)+x(i);
       b(i) = max(c(i),e(i-1));
       e(i) = y(i) + b(i);
    end
    peopleNumbers(j) = i - 1;
    waitTime(j) = 480/peopleNumbers(j);
end
hold on
grid on
for j = 1:days
    peopleNumbersAll(j) = sum(peopleNumbers(1:j))/j;
    waitTimeAll(j) = sum(waitTime(1:j))/j;
end
plot(1:days,peopleNumbersAll,'r-');
plot(1:days,waitTimeAll,'b-');
xlabel('时间/天');
ylabel('日均等待时间/等待人数');
legend('日均等待人数','日均等待时间');
disp('这一年内的平均等待人数：');
disp(sum(peopleNumbers)/days);
disp('这一年内人们的平均等待时间：');
disp(sum(waitTime)/days);
hold off

四.结果

%这一年内的平均等待人数：
 %  42.8027

%这一年内人们的平均等待时间：
%   11.3253

每天的等待人数和等待时间如下：

用大数定律求得的平均等待时间的进化过程为：

标签：仿真,10,min,0.1,排队,monteCarlo,顾客,365
来源： https://blog.csdn.net/shengzimao/article/details/110283779