T1

\(\forall x>0\) 求证:\((e^x-1)\ln(x+1)>x^2\)

注意到 \(e^x-1\) 与 \(\ln(x+1)\) 互为反函数。
不妨设 \(F(x)=e^x-1\)

\[\begin{aligned} \Leftarrow&F(x)F^{-1}(x)>x^2\\ \Leftarrow&\frac{F(x)}x>\frac x{F^{-1}(x)}\\ RHS=&F^{-1}(\frac{F(x)}x)\\ 构造&H(x)=x-F^{-1}(x)\\ \Rightarrow&H(\frac{F(x)}x)>0\\ H(x)>&0,\frac{F(x)}x>0在(0,+\infty)上都恒成立\\ 故&原命题得证 \end{aligned} \]

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