概率论 - 箱中取球引出的一个问题
作者:互联网
概率论 - 箱中取球引出的一个问题
一、前言
在考研数学复习时,《考研数学复习全书 - 数学一 · 李永乐 王式安...》概率论部分有一题出现了理解上的困难,查资料后有些收获,整理如下:
a 书中结论并不正确(确定)
b 要理解条件概率
c 要知道全概率公式进行概率分解的时候的隐藏的前提条件
二、条件概率
定义:设A、B是两个事件,且 \(P(A)>0\) ,称
\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{A}\)
为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率。
注:这里是直接定义,因此不需要证明为什么是这样(因为有人问如何证明是这种形式)。
由条件概率,直接可得概率的乘法公式
\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)
\(P(AB)=P(B)P(A|B)\)
注:这里 \(P(A)>0\),\(P(B)>0\) 是条件概率定义的要求。
推广:
\(P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)\) (三个事件)
注:之前之所以做错就是因为这里公式推导错了。
三、题目原型
例九 假设有两箱同种零件,第一箱内装 \(n\) 件一等品,第二箱内装 \(m\) 件,其中仅有一件一等品( \(m\) 、\(n\) 均大于2)。现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱箱后随机取出两个零件(不放回),试求:
(1)先取出的零件是一等品的概率 \(p\);
(2)在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率 \(q\)。
解:
记A为挑出的是第一箱,记为第i次取出的零件是一等品。
(1)第一问没有问题。
\(p=P(B_1)=P(B_1A)+P(B_1\overline{A})=P(A)P(B_1|A)+P(\overline{A})(PB_1|\overline{A})\)
即
\(p=\frac{1}{2}\times1+\frac{1}{2}\times\frac{1}{m}=\frac{m+1}{2m}\)
(2)第二问出现了问题。
书中解答:
设先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品,这个事件为C。
\(q=P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|\overline{A})P(\overline{A})\)
也即
\(q=1\times \frac{1}{2}+0\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
这个答案不对,原因后文分析。正确解答如下:
\(q=P(B_2|B_1)=\frac{P(B_1B_2)}{P(B_1)}\)
其中,
\(P(B_1B_2)=P(B_1B_2A)+P(B_1B_2\overline{A})\)
由于取第二个箱子时,不可能成立,因此
\(P(B_1B_2\overline{A})=0\)
\(P(B_1B_2A)=P(AB_1)P(B_2|AB_1)=P(A)P(B_1|A)P(B_2|AB_1)\)
\(=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}\)
故 \(q=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{m+1}{2m}}=\frac{m}{m+1}\)。
四、错误分析
对等式
\(p=P(B_1)=P(B_1A)+P(B_1\overline{A})=P(A)P(B_1|A)+P(\overline{A})(PB_1|\overline{A})\)。
由定义知,\(P(C)\) 本身是一个条件概率,且 \(P(C)=P(B_2|B_1)\) 。
将这个式子代入等式可得
\(P(B_2|B_1)=P(C|A)P(A)+P(C|\overline{A})P(\overline{A})\)
这个等式在 \(C\) 本身为事件的时候成立(事件即样本空间的子集),在这里 \(C\) 为有条件的事件,就不一定成立了。
下面来找问题。
见参考1。(这里不作进一步举例)
回顾全概率公式定理:
设试验E的样本空间为 \(S\),\(A\) 为 \(E\) 的事件,\(B_1\),\(B_2...B_n\) 为 \(S\) 的一个划分,且\(P(B_i)>0\),则
\(P(A)=P(A|B1)+P(A|B2)+...+P(A|Bn)\)
定理要求,\(A\) 和 \(B_i\) 属于同一样本空间,而答案中的 \(C\) 为有条件的事件,是A所在样本空间的子集,故全概率分解错误。
五、相似的例子
可以参考B站李永乐老师的概率相关的一个视频。
参考:
1. https://www.zhihu.com/question/50081230?sort=created (张翼腾的答案)
标签:取球,frac,overline,概率,AB,1B,一等品,概率论,箱中 来源: https://www.cnblogs.com/amazing-1/p/13907033.html