lucas 定理
作者:互联网
定义
百度百科的这个
C(n,m)=C(n%p,m%p)*C(n/p,m/p)%p
p为素数
或者维基百科的这个
\(C(n,m)=\prod_{i=0}^kC(n_i,m_i) \;(mod\;p)\)
\(m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+.....+m_1p+m_0\)
\(n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+.....+n_1p+n_0\)
两个显然本质是一样的
证明
首先要明白p为质数,且0<i<p时,下列式子成立。因为分子为P!,p不可能被分母消掉
\(C(p,i)\equiv0(mod\;p)\)
那么\((1+x)^p=x^0*C(p,0)+x^1*C(p,1)+.....+x^i*C(p,i)\)
则\((1+x)^p\equiv1+x^p(mod\; p)\)
设n=sp+q
\((1+x)^{n}\equiv(1+x)^{sp+q}\equiv(1+x)^{sp}*(1+x)^q\equiv((1+x)^p)^s*(1+x)^q\equiv(1+x^p)^s*(1+x)^q\;(mod\;p)\)
求\((1+x)^{sp+q}中x^{tp+r}的系数\)
\(C(sp+q,tp+r)\equiv C(s,t)*C(q,r)\;(mod\;p)\)
得证
大部分参考百度百科
题目链接
代码
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>
#define fi first
#define se second
#define debug printf(" I am here\n");
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const double eps=1e-10;
ll n,m,p;
ll fac[maxn],finv[maxn];
ll qpow(ll a,ll b){
ll ans=1,base=a;
while(b){
if(b&1){
ans=ans*base%p;
}
base=base*base%p;
b=b>>1;
}
return ans;
}
void init(){
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=p-1;i++){
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}
finv[p-1]=qpow(fac[p-1],p-2);
for(int i=p-2;i>=0;i--){
finv[i]=finv[i+1]*(i+1)%p;
}
}
ll cal(ll a,ll b){
if(b>a) return 0;
return fac[a]*finv[b]%p*finv[a-b]%p;
}
ll lucas(ll a,ll b){
if(b==0) return 1;
return lucas(a/p,b/p)*cal(a%p,b%p)%p;
}
signed main(){
int _;scanf("%d",&_);
while(_--){
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
init();
ll ans=lucas(n+m,m);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
标签:return,lucas,定理,finv,ans,include,ll,mod 来源: https://www.cnblogs.com/hunxuewangzi/p/13769342.html