生命- DP

2020-10-04 11:01:07 作者：互联网

Description

　　数轴上有一排N-1棵小树苗，位置分别在1.5，2.5，3.5……，i+0.5，……(N-1)+0.5。
　　有一天，由于间田同学施肥过多，小树苗们全部枯死了。但是不要紧，间田同学是魔法师，他掌握着生命的力量。对于一个闭区间内的小树苗，他可以使用魔法复活它们。但是会消耗一定的AP值。消耗的AP值定义为区间右端点减去左端点（右端点大于左端点，即消耗的AP值至少为1）。比如对于区间[3,5]使用魔法，消耗的AP值为5-3=2。
　　同时，由于一些无可奉告的原因，每一个端点只能作为一个区间的开头或结尾，且每次施法的左右端点只能是1到N之间的整数。
　　　　

　　以上情况合法。
　　　　

　　以上情况由于某一个点成为了多个区间的开头或结尾而不合法。
　　间田同学有K的AP值，消耗完后他就不能再使用魔法了，即随时保证AP值大于等于0。现在他想知道，他有多少种方案能够将所有小树苗全部复活。
　　对于两个方案，如果操作集合相同，则视为两个相同的方案。比如“先复活区间[1,3]的树苗再复活区间[2,4]的树苗”与“先复活区间[2,4]的树苗再复活区间[1,3]的树苗”视为同一种方案。空集不算一个合法方案。
　　小树苗可以多次被复活，效果与被复活一次相同，但是没有被魔法波及到的小树苗将一直保持枯死状态。

Input

　　第一行两个正整数N,K，代表小树苗的个数与间田同学初始AP值。

Output

　　输出一行一个整数，表示使得1到N所有小树苗都复活的方案数（对10^9+7取模）。

Sample Input

4 4

Sample Output

3
【样例解释】
可行不同的操作集合为{[1,4]}，{[1,4],[2,3]},{[1,3],[2,4]}。

Hint

【数据规模及约定】
　　对于30%的数据，1≤N≤10，1≤K≤50；
　　对于40%的数据，1≤N≤14，1≤K≤50；
　　对于50%的数据，1≤N≤16，1≤K≤500；
　　对于80%的数据，1≤N≤50，1≤K≤500；
　　对于90%的数据，1≤N≤50，1≤K≤5000；
　　对于100%的数据，1≤N≤100，1≤K≤100000。

思路

注意到消耗的Ap值=sigma(右括号位置) – sigma(左括号位置)
dp[i][j][k]表示当前在位置i，前面有j个开头，当前选择的括号的【sigma(右括号位置) -sigma(左括号位置)的值】为k。
枚举当前位置是左括号、右括号或者不放括号，分别从 dp[i - 1][j - 1][k - i]、dp[i - 1][j + 1][k + i]、dp[i - 1][j][k]，放右括号可与前面任意一个左括号匹配，会产生j倍的答案贡献。
滚动数组优化时间
K有效范围开5000~6000，多余的魔法值用不完
ex为偏移量，防止数组下标k为负

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ex 3000
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
int n,K;
long long ans,dp[2][105][6005];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&K);
	dp[1][1][1+ex]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=i;++j)
			for(int k=0;k<=ex*2;++k)
			{
				dp[i&1][j][k]=0;
				if(j>=1&&k-i>=0) dp[i&1][j][k]=(dp[(i-1)&1][j][k]+dp[(i-1)&1][j-1][k-i])%Mod;//不放+放左
				if((j>=1||i==n)&&k+i<=2*ex) dp[i&1][j][k]=(dp[i&1][j][k]+1LL*dp[(i-1)&1][j+1][k+i]*(j+1)%Mod)%Mod;//放右
			}
	for(int i=0;i>=max(-K,-ex);--i) ans=(ans+dp[n&1][0][i+ex])%Mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

标签：小树苗,生命,AP,括号,DP,端点,复活,dp
来源： https://www.cnblogs.com/wuwendongxi/p/13766702.html