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线性筛学习笔记

作者:互联网

什么是线性基

线性基大概可以理解为对于一组数 \(A_1,A_2...A_n\) ,构造出一个大小为 \(\text{O}\left(\log_2\text{N}\right)\) 的一个数组 \(P\)(\(\text{N}\) 即为数组 \(A\) 中数的值域),使得数组 \(A\) 中的任意数都可以由数组 \(P\) 中的数异或得出。

在满足此条件时,线性基的大小应该尽可能的小。

线性基的性质

  1. 数组能通过数组 \(A\) 中的数异或得出的数同样能够通过数组 \(P\) 中的数异或得出。

    • 线性基能表示出数组的所有数,所以一定可以表示出数组中数的异或值
  2. 线性基中的每一个数在二进制形式下的最高位都不同。

    • 如果线性基中有两个数在二进制形式下的最高为相同,那么显然这两个数可以合并为一个数。
  3. 线性基没有异或和为 \(0\) 的子集。

    • 如果线性基的某些数的异或和为 \(0\),那么这些数中的某一些数的异或和一定等于另一部分的异或和,也就是说这两部分有一部分是多余的,所以必须舍去。

线性基的构造

设 \(P_i\) 为线性基中在二进制下最高位为 \(i\) 的数的值

每插入一个数 \(x\),就执行一遍下面的操作:

Code

void build()
{
	x=read();
	for(int i=50;i>=0;--i)
		if(x>>i)
		//如果 x 的前 i 位没有 1,那么下面的操作就没有意义 
		{
			if(!p[i])
			{
				p[i]=x;
				break;
			}
			x^=p[i];
		}
}

为什么这么做可以构造出线性基?

如果找到了一个没有存入任何数的 \(P_i\),那么把 \(x\) 存入后就可以直接表示出 \(x\)。

如果找到了一个已经存入数的 \(P_i\),那么只要线性基能表示出 \(x\ \oplus \ P_i\) 那么 \(x\) 就可以通过 \(P_i\ \oplus\ \left(x\ \oplus\ P_i\right)=x\) 表示出。
而如果 \(x_{(2)}\) 的第 \(i\) 位为 \(1\),那么由于 \(P_i\) 的第 \(i\) 位一定为 \(1\) ,所以两数异或后 \(x\) 的第 \(i\) 位一定为 \(0\),这样一位一位地做,最终肯定会使 \(x\) 变为 \(0\)。

线性基的复杂度

我们需要一个大小 \(\text{O}\left(\log_2\text{N}\right)\) 的数组来存储所有的 \(P_i\),故空间复杂度 \(\text{O}\left(\log_2\text{N}\right)\)。

每插入一个数要遍历一边 \(P\) 数组,故时间复杂度也是 \(\text{O}\left(\log_2\text{N}\right)\)。

非常优秀

线性基的应用

求一组数中取任意数能得到的异或最大值

因为在原数组中异或得到的数也能在线性基中异或得到,所以问题就转换成了在这组数的线性基中找到异或最大值。

我们可以从高到低枚举位数 \(i\),记 \(ans\) 为当前能得到的异或最大值,则如果 \(P_i\ \oplus\ ans>ans\),那么就令 \(ans=P_i\ \oplus\ ans\)。

因为 \(P_i\) 的第 \(i\) 位为 \(1\),如果 \(ans\) 的第 \(i\) 位为 \(0\),那么异或后 \(ans\) 的第 \(i\) 为就变成了 \(1\),即使后面几位再小,\(ans\) 也会变大,所以异或更优。

而如果 \(ans\) 的第 \(i\) 位为 \(1\),那么异或后 \(ans\) 的第 \(i\) 为就变成了 \(0\),即使后面几位再大, \(ans\) 也会变小,所以不异或更优。

因为是从高位到低位计算的,所以后面位数的计算不会影响前面位数的计算,所以是最优的。

Code

int getmax()
{
    int ans=0;
    for(int i=50;i>=0;--i)
        if((ans^p[i])>ans)
            ans^=p[i];
    return ans;           
}

最小值同理。

判断一个数能否通过一组数中任意数异或得到

假如判断的数是 \(x\) 那么从高到低枚举 \(x\) 的每一位,如果第 \(i\) 位为 \(1\),那么就把它异或上 \(P_i\),如果枚举完后 \(x\) 为 \(0\),那么就可以表示出。

证明同理插入证明。

Code

bool check(int x)
{
    for(int i=50;i>=0;--i)
        if((x>>i)&1)
            x^=p[i];
    return x==0;
}

例题

P3812 【模板】线性基

线性基求异或最大值的板子,不多说了

P3857 [TJOI2008]彩灯

开关就是一个二进制数,改变一次状态就相当于异或,题目要求统计不同的数量,由于线性基中的每个元素不重复且可以表示出所有原数组的异或值,所以直接把所有开关压进线性基。由于线性基中每个数有选与不选两种情况,所以统计线性基中数的个数 \(sum\),答案就是 \(2^{sum}\)。

待更新。。。

Ps:文章内容均为个人理解,如有错误欢迎指出。

标签:基中,text,笔记,学习,异或,数组,ans,线性
来源: https://www.cnblogs.com/hao-qing233/p/13759327.html