円錐曲線の楕円編
作者：互联网
定义
第一定义：平面内与两定点 \(F_1,F_2\) 的距离的和等于常数 \(2a(2a>|F_1F_2|)\) ，即 \(|PF_1|+|PF_2|=2a\) 的动点 \(P\) 的轨迹叫做椭圆。
第二定义：椭圆平面内到定点 \(F_1\) （即焦点）的距离和到定直线 \(l\) ( \(F_1\) 不在 \(l\) 上 )的距离之比为常数 \(\frac{c}{a}\) ( 即离心率 \(e,0<e<1\) ) 的点 \(P\) 的轨迹是椭圆。
准线（即定直线）\(=\pm \frac{a^2}{c}\)（焦点在 x 轴或 y 轴上均相同）
第三定义：平面内的动点到两定点 \(A_1(a,0),A_2(-a,0)\) 的斜率乘积等于常数 \(e^2- 1\) ( \(e\) 指离心率 ) 的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。（当常数大于 -1 小于 0 时为椭圆；当常数大于 0 时为双曲线）
性质
以焦点在 \(x\) 轴的椭圆 \(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) 为例：
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长轴长 \(2a\) ，短轴长 \(2b\) ，焦距 \(2c\) ；
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对称性：关于 \(x\) 轴， \(y\) 轴，原点对称；
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设 \(P(x_0,y_0)\) 为椭圆上一点，则 \(-a\le x_0\le a,-b\le y_0 \le b\) ；
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焦半径公式：\(|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0\) ；
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焦点三角形面积：\(S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan{\frac{\theta}{2}}(\theta=\angle F_1PF_2)\)；
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焦点弦：\(|AB|=\frac{\frac{2b^2}{a}}{1-e^2\cos^2\theta}\)
设弦 \(|AB|\) 经过焦点 \(F_1\) ，且 \(A\) 在 x 轴上方，则：
- \(|AF_1|=\frac{\frac{b^2}{a}}{1-e\cos\theta}\)
- \(|BF_1|=\frac{\frac{b^2}{a}}{1+e\cos\theta}\)
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通径：\(|PQ|=\frac{2b^2}{a}\)（焦点弦长的最小值）；
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离心率：\(e=\frac{c}{a}\in(0,1)\)
- 点 \(M\) 在椭圆上（不在长轴），且 \(\ang F_1MF_2=\theta,\ang MF_1F_2=\alpha,\ang MF_2F_1=\beta\)，则 \(\cos\theta \ge 1-2e^2,e=\frac{\sin(\alpha +\beta)}{\sin\alpha +\sin\beta}\)（会证即可，用处不大）；
- 过焦点 \(F\) 的直线交 \(E\) 于 \(A,B\) 两点，直线 \(AB\) 是倾斜角为 \(\theta\) ，且 \(\vec{AF}=\lambda \vec{FB}\)，则曲线的离心率满足：\(e|\cos\theta|=|\frac{\lambda -1}{\lambda +1}|,e=\sqrt{1+k^2}|\frac{\lambda -1}{\lambda +1}|\).
光学性质
简介：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点。
其等价形式有：椭圆上任意点的切线与两焦半径所成夹角相同。
应用：可以将过点 \(P\) 的切线看成平面镜，则焦点三角形中 \(\ang F_1PF_2\) 的角平分线是法线。也就是说，角平分线与切线垂直，从而我们可以利用 \(P\) 点坐标求出切线的斜率，就能更快的求出角平分线的斜率。
更多：椭圆光学性质的妙用
切线、法线定理
切线定理：若直线 \(AB\) 切椭圆于点 \(P\) ，且 \(A\) 和 \(B\) 在直线上位于 \(P\) 点两侧，则 \(\ang APF_1=\ang BPF_2\) 。（也就是说，椭圆在点 \(P\) 处的切线即为 \(\ang F_1PF_2\) 的外角平分线所在的直线 ）
法线定理：若直线 \(AB\) 为椭圆在 \(P\) 点的法线，则 \(AB\) 平分 \(\ang F_1PF_2\) 。
第三定义的推论
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若 \(A,B\) 是椭圆上关于原点对称的两点，\(P\) 是椭圆上异于 \(A,B\) 的点，则 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)
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若 \(AB\) 是椭圆上不垂直于对称轴的弦，\(P\) 为 \(AB\) 的中点，则 \(k_{OP}\cdot k_{AB}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)
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若 \(l\) 是椭圆上不垂直与对称轴的切线，\(P\) 为切点，则 \(k_{OP}\cdot k_l=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)
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椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为 \(-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)；
若长轴平行于 y 轴，比如焦点在 y 轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 \(-\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{e^2-1}\)。
其他结论
详见：圆锥曲线之椭圆篇
标签：円錐曲線,椭圆,frac,切线,AB,円編,theta,ang 来源： https://www.cnblogs.com/hlw1/p/13475628.html