题目

题目

题解

又是一个简（e）单（xin）题，思路不难想，但是证明是真的难啊，不过yxc的视频讲解也是真的好啊。

我的思路是对于\(r\)从小到大排序，然后对于防晒霜也从小到大排序，然后对于目前的防晒霜看看有没有区间包括它的，包括就选。（优先选\(r\)小的）

当然，题解大量的思路都是\(l\)递减，然后看看这个区间有没有防晒霜，有优先选\(SPF\)值大的。

为什么是对的呢？（下面都按照大多数人的思想走）

一个比较形象的思路就是：由于\(l\)递减，\(SPF\)越大的防晒霜在后面选择会越来越少，所以优先选大的，而且对于\(x,y(SPF[x]<SPF[y])\)防晒霜而言，后面如果覆盖了\(y\)号防晒霜那也肯定覆盖了\(x\)号防晒霜，所以选\(SPF\)最大的防晒霜是最优的。

那么严谨的证明是什么呢？

我们把问题化成二分图匹配的问题，然后证明我们这样子做没有增广路径就行了（不懂的看视频或者上网看），而对于\(cover[i]\)，我们就认为有\(cover[i]\)个这样的点就行了。

\(c_i\)表示第\(i\)头牛，\(s_i\)表示第\(i\)个防晒霜，那么如果存在增广路径的话，我们找到其中的一条最短的增广路径（注：\(a_i\)仅仅表示第\(i\)个点的下标，并无实际意义）：

\(s_{a_{0}}→c_{a_{1}}→s_{a_{2}}→...→c_{a_k}\)
那么可以说明\(c_{a_{0}}\)和\(s_{a_k}\)是没有匹配过的点。

考虑一下\(SPF[a_0]\)和\(SPF[a_2]\)的大小关系，\(c_{a_1}\)包括这两个防晒霜，根据算法大的优先，所以\(SPF[a_0]≤SPF[a_2]\)。

接下来我们再来研究一下\(a_1\)和\(a_3\)的大小关系。

有没有可能\(a_1<a_3\)？

也就是说我们的\(s_{a_2}\)跑去找了后面的牛。

由于的大优先，这样的话下面那个蓝色的防晒霜也就是\(SPF[a_4]\)肯定也是大于\(SPF[a_0]\)，那这样子的话为什么不直接让\(s_{a_0}\)去占\(s_{a_4}\)的位置把\(s_{a_4}\)弹出啊，这样还能少两个点：\(s_{a_2}\)和\(c_{a_1}\)，这样就违反了我们最小增广路径的设定了。

所以\(a_1>a_3\)。

而后面的也可以像这样子无限推下去，知道\(a_k=1\)，等会！\(1\)号牛没有匹配？可是\(1\)号牛优先级最高啊，矛盾，所以不成立。

还有人问有没有可能是\(c_{a_{0}}→s_{a_{1}}→c_{a_{2}}→...→s_{a_k}\)这样子的最短增广路径呢，但是由于前面的优先级比后面的优先级高，所以\(a_0\)不可能小于\(a_2\)，所以\(a_0>a_2\)。抢完之后呢，\(c_{a_2}\)就十分的迷茫了，它要找那个防晒霜呢，假设找到了\(x\)号防晒霜，\(SPF[x]<SPF[a_2]\)，那么肯定是被是被\([a_2+1,a_0-1]\)的牛给匹配了（不然\(a_0\)就会匹配到\(x\)），那么这样，我们我们可以直接让\(c_{a_0}\)直接去抢\(c_{a_4}\)的啊，这样还能少\(a_1\)和\(a_2\)呢，又违反了最短，而如果\(SPF[x]≥SPF[a_2]\)，确实可以成立，但是又跟上面第一个证明一样，这两条结论一成立，无限推下去知道找到\(1\)号牛，矛盾。

所以是对的。

巧妙的把贪心化成二分匹配进行证明，妙啊。

当然我的思路其实是和它差不多的，所以也可以认为是对的。

代码

时间复杂度：\(O(n^2+m)\)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define  N  3100
using  namespace  std;
struct  node
{
	int  x,y;
}a[N],b[N];int  n,m;
bool  v[N];
inline  bool  cmp1(node  x,node  y){return  x.y==y.y?(x.x<y.x):(x.y<y.y);}
inline  bool  cmp2(node  x,node  y){return  x.x<y.x;}
int  main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int  i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
	for(int  i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y);
	sort(a+1,a+n+1,cmp1);
	sort(b+1,b+m+1,cmp2);
	int  ans=0;
	for(int  i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int  k=1;k<=b[i].y;k++)
		{
			bool  bk=0;
			for(int  j=1;j<=n;j++)
			{
				if(!v[j]  &&  a[j].x<=b[i].x  &&  a[j].y>=b[i].x)
				{
					v[j]=1;
					ans++;
					bk=1;
					break;
				}
			}
			if(!bk)break;
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return  0;
}

最后

这里说一下，其实找到区间内的最小的数字或者找数字可以匹配的\(r\)最小的区间编号是可以直接用权值线段树的，懒得打了，是可以优化到\(O(nlogn)\)。

当然也可以用https://www.acwing.com/solution/content/785/所用的二分法来找，也是\(O(nlogn)\)的。

标签：优先,匹配,防晒,增广,路径,防晒霜,SPF
来源： https://www.cnblogs.com/zhangjianjunab/p/13418881.html