51nod 1355 斐波那契的最小公倍数
作者:互联网
题意
我们知道一个结论:\(\gcd(f_x,f_y)=f_{\gcd(x,y)}\)。
证明见这里。
于是我们考虑将\(lcm\)向\(\gcd\)方向化,我们知道\(lcm\)是给指数取\(\max\),\(\gcd\)是给指数取\(\min\),因此考虑\(\min-\max\)容斥:
\(lcm(S)=\prod\limits_{p}p^{\max(S)}=\prod\limits_p p^{\sum\limits_{T\in S,T\not=0}(-1)^{|T|+1}\min(T)}=\prod\limits_{T\in S,T\not=0}\gcd(T)^{(-1)^{|T|+1}}=\prod\limits_{T\in S,T\not=0}f_{\gcd(T)}^{(-1)^{|T|+1}}\)
构造\(g\)满足\(f_n=\prod\limits_{d|n}g_d\),那么有\(g_n=\prod\limits_{d|n}f_d^{\mu(\frac{n}{d})}\),因为我们两边取个\(\log\)就变成了莫比乌斯反演了。
\(\prod\limits_{T\in S,T\not=0}f_{\gcd(T)}^{(-1)^{|T|+1}}\)
\(=\sum\limits_{T\in S,T\not=0}(\prod\limits_{d|\gcd(T)}g_d)^{(-1)^{|T|+1}}\)
\(=\prod\limits_{d}g_d^{\sum\limits_{T\in S,T\not=0,d|\gcd(T)}(-1)^{|T|+1}}\)
考虑\(g_d\)的指数:\(\sum\limits_{T\in S,T\not=0,d|\gcd(T)}(-1)^{|T|+1}\)
设\(d\)能整除\(S\)中的\(cnt\)个数,那么这个东西就是:
\(\sum\limits_{i=1}^{cnt}C_{cnt}^i(-1)^{i+1}=[cnt>0]\)
于是\(ans=\prod\limits_{\exists i\in S,d|i}g_d\)
code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
int n,ans=1;
int mu[maxn],f[maxn],invf[maxn],g[maxn];
bool vis[maxn];
vector<int>prime;
inline int read()
{
char c=getchar();int res=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0',c=getchar();
return res*f;
}
inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
inline int power(int x,int k)
{
int res=1;
while(k)
{
if(k&1)res=1ll*res*x%mod;
x=1ll*x*x%mod;k>>=1;
}
return res;
}
inline void prework(int n)
{
vis[1]=mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])prime.push_back(i),mu[i]=-1;
for(unsigned int j=0;j<prime.size()&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
f[0]=0,f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=add(f[i-1],f[i-2]);
for(int i=1;i<=n;i++)invf[i]=power(f[i],mod-2);
for(int i=1;i<=n;i++)g[i]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;i*j<=n;j++)
if(mu[j]==1)g[i*j]=1ll*g[i*j]*f[i]%mod;
else if(mu[j]==-1)g[i*j]=1ll*g[i*j]*invf[i]%mod;
}
int main()
{
prework(1e6);
memset(vis,0,sizeof(vis));
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)vis[read()]=1;
for(int i=1;i<=1000000;i++)
{
bool flag=0;
for(int j=1;i*j<=1000000;j++)flag|=vis[i*j];
if(!flag)continue;
ans=1ll*ans*g[i]%mod;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
标签:gcd,limits,公倍数,sum,1355,51nod,int,maxn,prod 来源: https://www.cnblogs.com/nofind/p/13051624.html