费马小定理的证明

费马小定理：

(摘自百度百科)费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出，

其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，

p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

定理：a^(p-1)≡1(%p),(a,p)=1;

在这之前首先来证明两个引理：

引理1：若(p,c)=1,且ac≡bc(%p),那么a≡b(%p)

证：
由ac≡bc(%p)得：ac-bc≡0(%p)
∴(a-b)c≡0(%p)
∴(a-b)c是p的整数倍
∵(c,p)=1
∴原式 <=> kpc≡0(%p)
∴(a-b)=kp
∴(a-b)%p≡0.

引理2：若a1,a2,a3,a4,...am 为 %m 的完全剩余系且(m,b)=1，则b*a1,b*a2,b*a3,b*a4,...b*am 也
是 %m 的完全剩余系

证(反证法)：
假设存在 b*ai ≡ b*aj (%p) 由引理1得ai ≡ aj (%p),然而这显然是错误的，所以引理2成立。

首先构造%p的完全剩余系
0,1,2,3,4,...p-1.

∵ (a,p)=1;

∴ a,2a,3a,4a,(p-1)a 也是%p 的完全剩余系

∴ 1*2*3*4*...*(p-1) ≡ a*2a*3a*4a*...*(p-1)*a ( % p ) //可以将等式右边分别模进去就是左边的样子

∴ (p-1)!≡(p-1)!*a^(p-1) ( % p )

∵( p , ( p - 1 ) ! )=1//证明：
一个（质数-1） 的阶乘不可能是这个质数的倍数，
1*2*3*4*5*6 7
若果想要是 7 的倍数 则必须出现 k*7 ，所以必须要构造出一个7，（用几个数相乘）然而除

了1*7之外没有满足条件的其他数,显然这是不成立的，无法找到一个 k 值满足条件，所以 ( (p-1)! , p ) = 1 成立。}

根据引理1，等式两边同时约去(p-1)!得

a^(p-1)≡1(%p)
得证.

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来源： https://www.cnblogs.com/EarlyBridVic/p/12911096.html