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韦达定理

作者:互联网

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Case 1. 定义

韦达定理即:

在方程:

\[ax^2 + bx + c = 0 (a,b,c \in R , a \not = 0) \]

中,两根 \(x_1 , x_2\) 存在关系:

\[x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} , x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]

Case 2. 求根公式的证明

首先我们要求出 \(x_1\) 和 \(x_2\). 这也是 求根公式 的证明过程。

\[ax^2 + bx + c = 0 \]

\[4ax^2 + 4abx + 4ac = 0 \]

\[(2ax + b)^2 - b^2 = -4ac \]

\[(2ax+b)^2 = b^2-4ac \]

\[2ax+b = \pm \sqrt{b^2-4ac} \]

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} , x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

至此, 求根公式 得证。

Case 3 韦达定理的证明

我们将 \(x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}\) 作为 韦达定理 \(1\),\(x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}\) 作为 韦达定理 \(2\),分别证明。

Case 3.1 韦达定理 \(1\) 的证明

\[x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \]

证:

\[\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

\[= \frac{-2b}{2a} \]

\[= - \frac{b}{a} \]

得证。

Case 3.2 韦达定理 \(2\) 的证明

\[x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]

证:

\[\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \times \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

\[= \frac{(-b + \sqrt{b^2-4ac} \times (-b - \sqrt{b^2-4ac})}{4a^2} \]

\[= \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} \]

\[= \frac{4ac}{4a^2} \]

\[= \frac{c}{a} \]

得证。

Case 4. 韦达定理的应用

其逆定理为:

若 \(\alpha + β = - \frac{b}{a} , \alpha \times β = \frac{c}{a}\),则它们都是

\[a^2 + bx + c = 0 (a,b,c \in R , a \not = 0) \]

的解。

由此可以 构造一元二次方程,有较大应用。尤其在 平面几何,解析几何,方程论 中更具应用。

Case 5. 推广韦达定理

即若有一元 \(n\) 次方程组:

\[\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0 (n \geq 2 , a_i \in R , a_n \not = 0) \]

则其解 \(x_0 , x_1 \cdots x_n\) 满足:

\[\sum_{i=0}^n x_i = - \frac{a_{n-1}}{a_n} \]

\[\prod_{i=0}^n x_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \]

有类似证明,读者可自证。

标签:Case,frac,定理,sqrt,2a,韦达,4ac
来源: https://www.cnblogs.com/bifanwen/p/12818835.html