P3174 [HAOI2009]毛毛虫 题解
作者：互联网
简要题意：
给定一棵树，求最长的 “挂链” 长度。
挂链定义为：一条链上所有节点与其相连的节点构成的生成树。（非严谨定义）（原题中是 “毛毛虫”，本人以为挂链更形象）
这题有多种做法，这里给出思路，以及其中一种做法的代码。
算法一
注意到，其实我们只需要选出 “最长链”，然后在最长链的两侧挂链即可。
即，先求出 树的直径 的两个端点，然后遍历一遍直径上的端点，把它们的直接连边都加入生成树中。
最后统计答案即可。
时间复杂度：\(O(n)\).
期望得分：\(100pts\).
算法二
考虑树形 \(\text{dp}\)，用 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为根的最大挂链长度，\(sub_i\) 记录 \(i\) 的儿子个数，则：
\[f_u = \max(f_v , f_v + sub_u - 1) (v \in \operatorname{son} (u)) \]
很显然，要么直接继承儿子节点的答案，要么把两边一拼。
时间复杂度：\(O(n)\).
期望得分：\(100pts\).
算法三
给出一个最巧妙的算法。
假设 \(i\) 号点的度是 \(a_i\)，则一条长度为 \(s\) 的挂链的答案应该是：
\[\bigg ( \sum_{i \in \operatorname{list}} a_i \bigg ) -(s-1) + 1 \]
\(i \in \operatorname{list}\) 表示 \(i\) 属于当前链，\(s-1\) 即把重复计算的边去掉得到边数，然后 \(+1\) 得到点数。化简即：
\[= \bigg ( \sum_{i \in \operatorname{list} } a_i \bigg ) - s + 2 \]
你发现这个东西有点难看，于是换了一下：
\[=\sum_{i \in \operatorname{list} } (a_i - 1) + 2 \]
显然，把 \(s\) 减到每个节点里面 ，每个点分 \(1\) 个。
那么我们可以按照如下步骤求解：
-
建图统计度，并将度 \(-1\).
-
求出直径两端。
-
统计直径上所有节点的度，然后 \(+2\) 即为答案。
时间复杂度：\(O(n)\).
实际得分：\(100pts\).
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+1;
inline int read(){char ch=getchar();int f=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
int x=0;while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}
int n,m,du[N],dis[N];
int num,mx;
vector<int> G[N];
inline void dfs(int dep,int fa,int dis) {
//fa 是 dep 的父亲 , dep 是正在搜索的节点,dis 是它与开始搜索节点的距离,dis 统计度和
if(dis>mx) mx=dis,num=dep; //度和打擂
for(int i=0;i<G[dep].size();i++)
if(G[dep][i]!=fa) dfs(G[dep][i],dep,dis+du[dep]); //往下搜索
}
int main(){
n=read(),m=read();
memset(du,-1,sizeof(du)); //初始化为 -1, 即减掉 1
while(m--) {
int x=read(),y=read();
G[x].push_back(y);
G[y].push_back(x);
du[x]++; du[y]++; //统计度
} dfs(1,0,du[1]); mx=0;
dfs(num,0,du[num]); //两次 dfs 寻找直径
printf("%d\n",mx+2); // +2 就是答案
return 0;
}
标签：ch,int,题解,P3174,operatorname,挂链,节点,HAOI2009,dis 来源： https://www.cnblogs.com/bifanwen/p/12642080.html