P6270 [SHOI2002]取石子游戏 题解
作者：互联网
简要题意：
双方轮流拿石子，共两堆石子，每次可以拿去一堆中的任意个或者两堆中的相同多个。先走方是否一定能获胜（失败）？
博弈论经典：威佐夫博弈 模板题。
显然，我们用 \(P\) 态表示必败态，\(A\) 态表示必胜态，用 \(f_{x,y}\) 表示两堆分别为 \(x\) 个和 \(y\) 个的状态。显然：
\[f_{x,y} \in \bigg( A,P \bigg) \]
然后，先规定边界：
\[f_{0,0} = P , f_{0,x} = f_{x,0} = A \]
且
\[f_{x,y} = f{y,x} \]
我们只需考虑 \(x<y\) 的情况。
去处边界，\(f_{1,2} = P\)，这是显然的，你无论如何都是输。
然后，\(f_{1,k} = A(k >2)\)，这是因为，你只要把 \(k\) 个石子降为 \(2\) 个石子，然后对方是先手，\(\because f_{1,2} = P\)，\(\therefore f_{1,k} = A(k > 2)\).其中式子中可以认为 \(P=0,A=1\).
同理，\(f_{2,k} = A(k>1)\)，因为 \(f_{2,1} = P\)，把 \(k\) 堆石子弄成一堆就行。
从上面可以看出，如果把 \(f_{x,y}\) 写在平面直角坐标系上，那么 每一列只有一个 \(P\) 态（因为其它的都转移成它）。
我们继续寻找 \(f_{3,k} = P\) 的 \(k\) 值。
下面，我们用 \(x^1\) 表示 \(x\) 状态的取反值。（取反即 \(P \gets A\)，\(A \gets P\)）
\[f_{3,4} = f(1,2)^1 = P^1 = A \]
\[f_{3,5}=\max(f_{3,4},f_{3,3},f_{2,4},f_{1,3})^1 = A^1 = P \]
\(\max\) 即在所有状态中取最优解（能赢则赢，全输则输）。
因此，\(f_{1,2}\)，\(f_{3,5}\) 是 \(P\) 态。
然后经过类似枚举发现：（其实是用电脑动态规划打表的）
\(f_{1,2} , f_{3,5},f_{4,7},f_{6,10},f_{8,13} = P\)
这时我们大概发现了一点规律。
首先，第 \(i\) 个 \(P\) 态一定是 \(f_{x,x+i}\) 的形式。
你发现这个数列有极了规律。
第 \(i\) 个 \(P\) 态应当时 \(f(m_i,m_i+i)\)，其中 \(m_i\) 表示前 \(i-1\) 个 必败态中未出现的最小数。
什么意思？比方说，第 \(3\) 个 \(P\) 态。
前面出现过 \(1,2,3,5\)，\(\therefore\) 就是 \(f_{4,4+3} = f_{4,7}\)
然后，给出一段伪代码，求出前 \(1\) ~ \(10^5\) 的 \(P\) 态。
freopen("data.txt","w",stdout);
bool h[1000001]; int last=1; //last表示上次出现的位置，用来优化搜索，保证线性
memset(h,0,sizeof(h)); //桶清0
for(int i=1;i<=100000;i++) {
for(int j=last;j<=INT_MAX;j++)
if(!h[j]) {
last=j; h[j]=1; h[j+i]=1;
printf("%d %d\n",j,j+i);
break;
}
}
时间复杂度是 \(O(10^5)\)，然后我们得到一个表：
（如果你想分析，也可以试着分析一下这种大数据）
（天哪，你不会以为我想把 \(10^9\) 的表滚出来然后交吧，不好意思）
然后经过 看题解 分析发现：
\[m_i = i \times \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \]
然后直接判断即可。
时间复杂度：\(O(n)\).
期望得分；\(100pts\).
实际得分：\(90pts\).（始终不知道怎么错的，但 \(\texttt{POJ}\) 上交是 \(\text{AC}\) 的）
#include<math.h>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll; //后来调试无果开了 long long
inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
int main(){
ll a,b;
while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF) {
if(a<b) swap(a,b);
a=(int)((a-b)*(1+sqrt(5))/2.0);
if(a==b) puts("0");
else puts("1");
}
return 0;
}
标签：10,ch,题解,石子,long,P6270,然后,include,SHOI2002 来源： https://www.cnblogs.com/bifanwen/p/12622836.html