首都师范大学2020年高等代数考研试题部分参考解答

250530首都师范大学2020年高等代数考研试题部分参考解答

1、 (15 分) 计算 阶行列式

2、 (15 分) 设 阶方阵 满足 ( 为单位方阵), 求一多项式 , 使得 .

3、 (15 分) 为变元 的所有二次齐次实多项式组成的线性空间, 有一组基 , 令 为映射, 使

验证 为 的线性变换 (即 到自身的线性变换), 并给出 在上述基下的矩阵.

4、 (15 分) 判断 与 是否相似?

5、 (15 分) 已知 分别为 矩阵. 证明: 与 有相同的非零特征值.

6、 (15 分) 设二阶实方阵 的特征多项式为 , 求 的特征多项式.

7、 (15 分) 设 阶实对称矩阵 的特征值为 , 问: 当 满足什么条件时, 为半正定 ( 为单位方阵).

8、 (15 分) 设 为复数域 上 阶方阵组成的线性空间, . 再设 为 的线性子空间

问: 满足什么条件时, 有 .

9、 (15 分) 设 为 阶实对称正定矩阵, 已知矩阵方程 ( 为 阶实方阵) 有唯一解 . 证明: 为对称正定矩阵.

10、 (15 分) 设 维实线性空间 有一组基 , 已知 都是 的有理系数线性组合, 而 线性无关, 但 线性相关. 证明: 为 的有理系数线性组合.