首都师范大学2020年数学分析考研试题参考解答

250531首都师范大学2020年数学分析考研试题参考解答

1、 (15 分) 计算下列极限.

(1)、 (7 分) 设 且 , 求

(2)、 (8 分) 求 , 其中 为任意实数.

2、 (15 分) 证明: 函数

在 处连续, 但不可微.

3、 (15 分) 设 , 判定函数 在下列区间中是不是一致连续, 并详细说明理由.

(1)、 ,

(2)、 .

4、 (15 分) 设 是定义在 上的二阶连续可微函数,

求 在柱坐标变换

下的表达式.

5、 (10 分) 设 是开区域, 可微函数 在 内满足

其中 为常数. 证明: 在 内恒为常数.

6、 (10 分) 计算

其中 为椭圆 , 取逆时针方向.

7、 (10 分) 计算第二类曲面积分

其中 , 分别为 轴, 轴, 轴的单位向量, 为四面体

的边界的外侧.

8、 (15 分) 证明级数 在区间 中内闭一致收敛于某个函数, 并求 .

9、 (15 分) 设 在 上二阶连续可微, 且存在 , 使得 . 正证明: 在 上存在唯一极小值点.

10、 (10 分) 设 为闭区间 上的连续函数, 证明:

11、 (10 分) 设函数 在闭区间 上连续, 且 . 求证: 对于任何正整数 , 都存在 , 使得

12、 (10 分) 设 , 证明对任意 , 下面不等式成立: