同济大学2020年数学分析考研试题部分参考解答

250601同济大学2020年数学分析考研试题部分参考解答

1、 (15 分) 设函数 在 上连续且 , 计算

2、 (15 分) 用任一实数理论完备性定理证明闭区间上连续函数的有界性定理.

3、 (15 分) 已知 在 上一致连续, 且对每一个固定的 成立

证明: 当 时, 函数列 在 上一致收敛于 .

4、 (15 分) 确定实数 的取值范围, 使平面无界区域

绕 轴旋转一周所得旋转体的体积有限而其表面积无限, 并计算该旋转体的体积.

5、 (15 分) 曲面

围成的有界区域为 , 其中 . 记 在点 处的切平面为 , 计算

其中 是 到平面 的距离的平方.

6、 (20 分) 设函数 在 上二阶可导, 且 , 并满足 . 试证明:

(1)、 对任意正数 , 存在唯一 使得 , 其中 是 在 上的最大值;

(2)、 收敛且 .

7、 (20 分) 设

求幂级数 的收敛域以及和函数.

8、 (20 分) 说明方程

可确定唯一的具有连续偏导数、并且定义在全平面上的隐函数 , 求 的极值.

9、 (20 分) 指出函数

的定义域并用初等函数表示 .