欧拉回路
作者：互联网
七桥问题
如果所有的点的度数都为偶数，那么这是一条欧拉回路
如果存在两个奇度点，那么从一个奇度点出发，最后到达另一个奇点，则称这是一条欧拉道路。
无向图存在欧拉回路的充要条件:
一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。
有向图存在欧拉回路的充要条件:
一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。
无向图半欧拉图判定
判断：有且仅有两个点度数是奇数
方法：加一条边，找欧拉回路，再删这条边，就找到了欧拉路径
有向图半欧拉图判定
判断：（起点）一个顶点的出度比入度大1，（终点）一个顶点的入度比出度大1，其余顶点入度等于出度
方法：加一条边，找欧拉回路，再删这条边，就找到了欧拉路径
回路的合并
两条回路有交点，可以合并成一条回路
例子：1—>2—>3—>7—>1 & 3—>4—>5—>6—>3
可以想象三自己走到自己 1—>2—>3—>3—>7—>1然后带入第二条回路
合并成功1—>2—>3—>4—>5—>6—>7—>1
欧拉回路的求解
找到剩余的度数不为0的一点
Hierholzer算法
Hierholzer算法是通过不断从图中删去回路的方式，将删去的多个回路和路径最终组合起来成为欧拉回路或欧拉路径。
算法流程如下:
DFS(x){
枚举与x关联的每条边e
删去e (若是无向图还需 删去对应的反向边)
DFS(e.to)
}将x放入栈中
对于无向图，若无奇点则任意从一个点开始执行算法，若恰有两个奇点则从其中一个开始执行算法
对于有向图，若所有点的入度等于出度则从任意一点开始执行算法， 若恰有两个点入度和出度之差等于1则从其中一个开始执行算法
该图是无向图且无奇数度数点，从1开始执行算法，执行过程如下:
1、从节点1开始执行算法
2、删边1-7， 递归DFS(7)
3、删边7-3, 递归DFS(3)
4、删边3-2，递归DFS(2)
5、删边2-1,递归DFS(1)
6、节点1无边，将1放入栈中，返回
7、节点2无边，将2放入栈中，返回
8、删边3-4,递归DFS(4)
9、 删边4-5，递归DFS(5)
10、 删边5-6，递归DFS(6)
11、删边6-3，递归DFS(3)
12、 节点3无边，将3放入栈中，返回
13、 节点6无边，将6放入栈中，返回
14、节点5无边，将5放入栈中，返回
15、节点4无边，将4放入栈中，返回
16、节点3无边，将3放入栈中，返回
17、节点7无边，将7放入栈中，返回
18、 节点1无边，将1放入栈中，返回
栈中元素自顶至下为: 1,7,3,4,5,6,3,2,1, 恰为一条欧拉回路。
https://www.luogu.com.cn/problem/P2731板子
程序复杂度O(mlogn)
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<algorithm>
4 #include<stack>
5 using namespace std;
6 #define N 1500
7 stack< int >s;
8 int n,maxn,du[N],ans[N],g[N][N];
9 void dfs(int u){
10 for(int v=1;v<=maxn;v++)
11 if(g[u][v]){
12 g[u][v]--;
13 g[v][u]--;
14 dfs(v);
15 }
16 s.push(u);
17 }
18 int main(){
19 scanf("%d",&n);
20 for(int i=1,x,y;i<=n;i++){
21 scanf("%d%d",&x,&y);
22 maxn=max(maxn,x);
23 maxn=max(maxn,y);
24 g[x][y]++;
25 g[y][x]++;
26 du[x]++;
27 du[y]++;
28 }
29 int st=1;
30 for(int i=1;i<=maxn;i++)
31 if(du[i]%2){
32 st=i;break;
33 }
34 dfs(st);
35 while(!s.empty()){
36 printf("%d\n",s.top());
37 s.pop();
38 }
39 return 0;
40 }
欧拉回路
标签：回路,DFS,栈中,删边,节点,欧拉 来源： https://www.cnblogs.com/liukx/p/12520129.html