罗德里格斯旋转方程推导

罗德里格斯旋转方程是从角度和向量计算出相应的旋转矩阵，这个旋转方程在很多方面有重要的应用，这里简要概述一下方程的推导过程。

主要参考资料是维基百科，其实基本上就是翻译一下，自己走一遍这个推导过程，这里把链接贴出来。

维基百科-罗德里格斯方程

推导过程：

整个推导过程都是围绕上面的图片开展的，进行向量推导。

首先，定义向量k是旋转轴的单位矢量，向量v是绕向量k旋转角度θ的任意向量（旋转方向遵循右手定则，图中逆时针）。

使用点乘和叉乘，向量v可以分解成与轴k平行和垂直的分量，

                                                （1-1）

与k平行的分量是

                                                 （1-2）

向量v在k上的向量投影，垂直于k的分量为

                                    （1-3）

矢量可以看作是绕k逆时针旋转90°的副本，所以它们的大小相等，但是方向是垂直的。同样，向量 是绕k逆时针旋转180°的副本，使得和的大小相等，但方向相反（因此符号相反）。

平行于轴的分量在旋转时不会改变幅度和方向：

                                               （1-4）

根据以上分析，垂直分量在旋转时会改变方向，但保持其大小：

                                            （1-5）

并且由于k和是平行的，所以它们的叉积是零  k× = 0，因此

                               （1-6）

因此

                                            （1-7）

这种旋转是正确的，因为矢量和k×v具有相同的长度，并且k×v是围绕k逆时针旋转90°。使用三角函数正弦和余弦对v⊥和k×v进行适当乘积可以得到旋转的垂直分量。旋转分量的形式类似于笛卡尔基的2D平面极坐标（r，θ）中的径向向量

                                                    (1-8)

其中，是它们指示方向上的单位向量。

现在完整的旋转矢量是

                                                               (1-9)

用上述结果中的和的定义代替  

                                (1-10)

矩阵表示上式，将v和k×v表示为列矩阵，叉积可以表示为矩阵乘积。

已知，对于两个向量，a， b有：

则的(1-10)可以用矩阵表示为：

                                (1-11)

令矩阵K表示单位向量k的"反对称矩阵"（有时被称作为叉积矩阵）:

                                                                           (1-12)

矩阵方程可以表示为

                                                                                         (1-13)

对于任何向量v（实际上，矩阵K是具有特征值0和±i）。

迭代右边的叉乘，相当于乘以左边的反对称矩阵，如下

                                                (1-14)

而且，由于k是单位向量，所以k具有单位2-范数。 因此旋转公式（1-10）可以表示为

                                                     (1-15)

补充一下推导过程：

矢量三重叉积，链接了平行分量和垂直分量。对于给定任意三个向量a，b，c，参考公式为：

（1-10）到（1-15）都点跨度比较大，其实中间经过了下面一个步骤：

再根据矢量三重叉积就可以获得（1-15）。

将v用紧凑表达式表达

                                                                                                                    (1-16)

最后获得罗德里格斯旋转方程：

                                                        (1-17)

矩阵R是上SO(3) 旋转群（《视觉SLAM十四讲》中，将其称作为特殊正交群）中的一个元素。K是那个李群上的李代数中的一个元素。

用矩阵的指数表示：

为了证明最后一个等式成立，我们注意到：

characteristic of a one-parameter subgroup, i.e. exponential, and that the formulas match for infinitesimal θ.

For an alternative derivation based on this exponential relationship, see exponential map from to SO(3). For the inverse mapping, see log map from SO(3) to .

Note that the Hodge dual of the rotation R is just which allows the extraction of both the axis of rotation and the sine of the angle of the rotation from the rotation itself, with the usual ambiguity:

where . The above simple expression results from the fact that the Hodge dual of and are zero, and .

标签：方程,推导,矩阵,旋转,叉积,罗德里格斯,向量,分量
来源： https://www.cnblogs.com/arxive/p/12505858.html