【转】霍夫变换理解
作者:互联网
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前言
今天群里有人问到一个图像的问题,但本质上是一个基本最小二乘问题,涉及到霍夫变换(Hough Transform),用到了就顺便总结一下。
内容为自己的学习记录,其中多有参考他人,最后一并给出链接。
一、霍夫变换(Hough)
A-基本原理
一条直线可由两个点A=(X1,Y1)和B=(X2,Y2)确定(笛卡尔坐标)
另一方面,也可以写成关于(k,q)的函数表达式(霍夫空间):
对应的变换可以通过图形直观表示:
变换后的空间成为霍夫空间。即:笛卡尔坐标系中一条直线,对应霍夫空间的一个点。
反过来同样成立(霍夫空间的一条直线,对应笛卡尔坐标系的一个点):
再来看看A、B两个点,对应霍夫空间的情形:
一步步来,再看一下三个点共线的情况:
可以看出如果笛卡尔坐标系的点共线,这些点在霍夫空间对应的直线交于一点:这也是必然,共线只有一种取值可能。
如果不止一条直线呢?再看看多个点的情况(有两条直线):
其实(3,2)与(4,1)也可以组成直线,只不过它有两个点确定,而图中A、B两点是由三条直线汇成,这也是霍夫变换的后处理的基本方式:选择由尽可能多直线汇成的点。
看看,霍夫空间:选择由三条交汇直线确定的点(中间图),对应的笛卡尔坐标系的直线(右图)。
到这里问题似乎解决了,已经完成了霍夫变换的求解,但是如果像下图这种情况呢?
k=∞是不方便表示的,而且q怎么取值呢,这样不是办法。因此考虑将笛卡尔坐标系换为:极坐标表示。
在极坐标系下,其实是一样的:极坐标的点→霍夫空间的直线,只不过霍夫空间不再是[k,q]的参数,而是的参数,给出对比图:
是不是就一目了然了?
给出霍夫变换的算法步骤:
对应code:
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function [ Hough, theta_range, rho_range ] = naiveHough(I)
%NAIVEHOUGH Peforms the Hough transform in a straightforward way.
%
[rows, cols] = size (I);
theta_maximum = 90;
rho_maximum = floor ( sqrt (rows^2 + cols^2)) - 1;
theta_range = -theta_maximum:theta_maximum - 1;
rho_range = -rho_maximum:rho_maximum;
Hough = zeros ( length (rho_range), length (theta_range));
for row = 1:rows
for col = 1:cols
if I(row, col) > 0 %only find: pixel > 0
x = col - 1;
y = row - 1;
for theta = theta_range
rho = round ((x * cosd (theta)) + (y * sind (theta))); %approximate
rho_index = rho + rho_maximum + 1;
theta_index = theta + theta_maximum + 1;
Hough(rho_index, theta_index) = Hough(rho_index, theta_index) + 1;
end
end
end
end
|
其实本质上就是:
交点怎么求解呢?细化成坐标形式,取整后将交点对应的坐标进行累加,最后找到数值最大的点就是求解的,也就求解出了直线。
B-理论应用
这里给出MATLAB自带的一个应用,主要是对一幅图像进行直线检验,原图像为:
首先是对其进行边缘检测:
边缘检测后并二值化,就可以通过找非零点的坐标确定数据点。从而对数据点进行霍夫变换。对应映射到霍夫空间的结果为:
找出其中数值较大的一些点,通常可以给定一个阈值,Threshold一下。
这就完成了霍夫变换的整个过程。这个时候求解出来了其实就是多条直线的斜率k以及截距q,通常会根据直线的特性进一步判断,从而将直线变为线段:
不过这一步更类似后处理,其实已经不是霍夫变换本身的特性了。
给出对应的代码:
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clc ; clear all ; close all ;
I = imread ( 'circuit.tif' );
rotI = imrotate(I,40, 'crop' );
subplot 221
fig1 = imshow(rotI);
BW = edge(rotI, 'canny' );
title ( '原图像' );
subplot 222
imshow(BW);
[H,theta,rho] = hough(BW);
title ( '图像边缘检测' );
subplot 223
imshow(imadjust(mat2gray(H)),[], 'XData' ,theta, 'YData' ,rho,...
'InitialMagnification' , 'fit' );
xlabel ( '\theta (degrees)' ), ylabel ( '\rho' );
axis on, axis normal, hold on;
colormap (hot)
P = houghpeaks(H,5, 'threshold' , ceil (0.7* max (H(:))));
x = theta(P(:,2));
y = rho(P(:,1));
plot (x,y, 's' , 'color' , 'black' );
lines = houghlines(BW,theta,rho,P, 'FillGap' ,5, 'MinLength' ,7);
title ( 'Hough空间' );
subplot 224, imshow(rotI), hold on
max_len = 0;
for k = 1: length (lines)
xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
plot (xy(:,1),xy(:,2), 'LineWidth' ,2, 'Color' , 'green' );
% Plot beginnings and ends of lines
plot (xy(1,1),xy(1,2), 'x' , 'LineWidth' ,2, 'Color' , 'yellow' );
plot (xy(2,1),xy(2,2), 'x' , 'LineWidth' ,2, 'Color' , 'red' );
% Determine the endpoints of the longest line segment
len = norm (lines(k).point1 - lines(k).point2);
if ( len > max_len)
max_len = len;
xy_long = xy;
end
end
% highlight the longest line segment
plot (xy_long(:,1),xy_long(:,2), 'LineWidth' ,2, 'Color' , 'red' );
title ( '直线检测' );
|
对比自带的Hough与编写的Hough:
效果还是比较接近的。
看到Stackoverflow上的一个答案,觉得很好,收藏一下:
标签:直线,变换,霍夫,Hough,理解,rho,xy,theta 来源: https://www.cnblogs.com/xuhongfei0021/p/12492130.html