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【统计学习方法】高斯分布公式推导

2020-03-07 19:39:18 作者：互联网

1 基本概念准备

1.1 扇形计算公式

$\Delta \sigma = \frac{\Delta \theta r^2}{2}$

1.2 二重积分用极坐标表示

$\Delta \sigma_k =\frac{(r+\Delta r)^2 \Delta \theta - r^2\Delta \theta}{2} = \frac{r \Delta r \Delta \theta+\Delta r^2 \Delta \theta}{2} \approx \frac{r \Delta r \Delta \theta}{2}$ (略去高阶无穷小)

所以 $d\sigma = rdrd\theta$

2 高斯分布公式

2.1 高斯概率密度函数的的积分

令 $I = \int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-x ^2}{2\sigma^2}}dx$

则 $I^2 = \int_{-\infty }^{+\infty } e^{-\frac{x ^2+y^2}{2\sigma^2}}dxdy$

用极坐标表示：

$\left \{\begin { matrix} x=rcos\theta \\y =rsin\theta \\ \end{matrix}\right.$

则：

$I^2 =\int ^{2\pi}_{0} \int^{+\infty}_{0}e^-{\frac{r^2}{2\sigma^2}}rdrd\theta = 2\pi\int^{+\infty}_{0}e^{-\frac{u}{2\sigma^2}}\frac{1}{2}du = \pi e^{-\frac{u}{2 \sigma^2}}(-2\sigma^2)|^{\infty}_{0}$

$I^2 = 2\pi\sigma^2$

所以：

$\int N(x | \mu, \sigma) dx = \frac{1}{2\pi \sigma^2} 2\pi \sigma^2 = 1$

2.2 高斯分布的期望

$E(x) = \int^{+\infty}_{-\infty} x N(x|\mu,\sigma)dx = \int^{+\infty}_{-\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(\mu -x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx$

令 $x = x -\mu$

则：

$E(x) = \int^{+\infty}_{-\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx + \int^{+\infty}_{-\infty} \mu \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx$

这里 $\int^{+\infty}_{-\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx$ 为奇函数，所以积分结果为0

所以：

$E(x) =\mu \int^{+\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx = \mu$

这里

参考：

高斯分布期望的推导

高斯分布归一化、期望、二阶矩、方差推导证明

标签：期望,推导,所以,公式,积分,极坐标,高斯分布
来源： https://blog.csdn.net/idwtwt/article/details/104715897