线性代数MIT 18.06 记录(十四)正交向量与子空间
作者:互联网
四个子空间
行向量的秩是r,列向量的秩是r,dim(null(A))=r,dim(null(AT))=m−r
而且 前两个正交,后两个相交
正交
意思就是向量夹角90°
如果判断?
使用点乘
如果XT∗y=0,那么就说他们正交
毕达哥拉斯(勾股定理)
一个边长(向量)的平方,比如说向量A=[1,2,3]T,它的边长的平方就是:XT∗X (其实也就是举例零向量的距离。
举例
更一般化的定理
注意,最后两个是相同的XTy和yTX是一摸一样的,所以,就退出了,xTy=0
这就是从毕达哥拉斯同理推出的正交条件。
两个正交向量的点乘为零
零向量与任何向量都相交
正交子空间
定义
子空间S和子空间T正交意味着,所有S中的向量都和T中的向量相交
如果两个子空间在某条直线相遇,那么它肯定不是相交的
行向量正交于 零空间
Ax=0
这样一看就非常明显了
注意:这里的维度非常重要,它们的秩加起来要得零
也就是补集的概念
NullSpace包含了所有垂直于行向量的向量
无解方程怎么解?
最最最最重要的的矩阵ATA
性质
- 方阵
- 对称
求解方法
把
Ax=b
变成ATAx=ATb
ATA可逆的充要条件,是A的列向量互相独立
这个公式为什么,下节课再说!
标签:18.06,相交,正交,行向量,rdim,与子,null,MIT,向量 来源: https://blog.csdn.net/weixin_41075215/article/details/104624996