数列的极限
作者：互联网
0x00 数列的极限定义
设 { } 是一个数列，如果存在常数a,对于任意给定的正数ε（无论ε有多小），总存在正整数N，当n>N时不等式|
-a|<ε,都成立。那么常数a是该数列的极限，或者称{
}收敛于a。记做：
,或者
→a(n→∞)
否则称数列{ }是发散的。
注释：无穷数列{ }，给定任意一个较小的正数ε（距离）从某一项开始，后面的项与a的距离总是小于给定的较小距离，就称常数a是数列{
}的极限。
例如：
{3n+5}是发散的；{1/n} 的极限是0；{5+3/n}的极限是5；{0.99^n}的极限是0；
证明：{5+3/n}的极限是5
给定一个狠小的距离ε=0.0001，当n>30000,该数列的每一项与5的距离都小于ε。
给定任意一个很小的距离ε，当n>3/ε时，数列的每一项与5的距离都小于ε，所以{5+3/n}的极限是5
0x01 收敛数列的性质
极限唯一性：如果数列收敛，那么它的极限只有一个。
说明：假设数列极限不唯一，假设{ }的极限是3和5，从100项后数列与3的距离小于0.01，那么它与5的距离肯定不能小于0.01。
收敛数列有界性：如果数列收敛，那么数列一定有界。
说明：设数列{ }收敛于a，从第N项起，每一项都与a的距离小于0.01。从第N项起，每一项都在a-0.01<
<a+0.01,且
≠a（a
的去心0.01邻域内），第N项以前的每一项都是确定，所以收敛数列一定有界。
收敛数列保号性：如果数列收敛于a(a≠0)，那么总存在N，从第N项开始，都有 >0(或者都有
<0)
假设a>0,数列越来越接近于a，必然从某一项起，每一项都大于0。例如a=1,假设从第N项起，每一项距离1都小于0.9。每一项都在(1-0.9,1+0.9)内，每一项都大于0。假设a=0.001,假设从N项起，每一项与0.001的距离都小于0.0009。那么自第N项后，每一项都在(0.001-0.0009,0.001+0.0009)内，都大于0。a<0情况类似。如果数列收敛于0，不一定拥有保护性，例如：
收敛数列子数列同收敛性：如果数列收敛于a,那么它是子数列也收敛于a。
{10,1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001...}收敛于0，它的子数列{10,0.1,0.001,0.00001,0.0000001...}显然收敛于0。
0x02 扯淡
受病毒影响，春节后到2020年2月23日在家办公。在家工作繁忙且认真，没有怠工，因此没有空闲时间复习高数。这期间发生很多事情，看到了光明的一面：众多医护人员奋不顾身，牺牲在抗疫前线的；捐献物资的爱心人士；奋力研发药物的科学家；积极配合防疫工作的人民群众及工作单位。同时也看到了阴暗的一面：被谣言的李文亮；某些丧心病狂的感染者；某红十字会；某些没用作为的正腐人员；某些屏蔽真实消息的媒体；各种哄抬物价的奸商；转嫁风险的某些企业某些领导...似乎阴暗更多一些。作为一个普通人，没有能力改变什么。2020年，愿病毒早日被战胜；光明不再被黑暗吞噬；愿世界和我国变得美好；愿正义不再迟到。
Moluth
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标签：数列,0.01,距离,极限,收敛,每一项 来源： https://blog.csdn.net/Moluth/article/details/104473202