洛谷P1880 石子合并

此题是基于单纯线性的石子合并(单纯的石子合并https://vjudge.net/problem/51Nod-1021)基础上进行了修改，增加了环形这一条件。

我们先忽略掉环形首先从单纯线性合并做起，我们写出这样一个DP方程式dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+d(i,j)),

dp[i][j]表示从i合并到j的最小值，我们分别求得每个区间的最小，最后进行合并，最终的最大值一定是最小的，容易反证证明。

那么我们以k作为一个分界线例如，我要合并1~5的数字，那么我就有1~1 & 2~5   1~2 & 3~5   1~3 & 4~5  1~4 & 5~5 这几种选择再加上1~5的前缀和，那么我们就可以解决这一问题，接下来我们考虑如何去解决环形这一问题 我们注意到例如1 2 3 4可以变为 2 3 4 1 、3 4 1 2 、4 1 2 3 于是我们可以将这个数字串扩为2倍，并不断去算不同排列下的最优解，这样我们就解决了这一问题。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[201];
int dpmax[202][202],d[201],dpmin[202][202];
int cal(int i,int j) {return d[j] - d[i-1];}
int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>a[i];
        d[i] = d[i-1] + a[i];
        a[i+n] = a[i];    
    }
    for(int i=n+1; i<=n*2; i++) {
        d[i] = d[i-1] + a[i];
    }
    for(int len=1; len<=n-1; len++) {
        for(int i=1,j=i+len; (i<n*2)&&(j<n*2); i++,j=i+len) {
            dpmin[i][j] = 99999999;
            for(int k=i; k<j; k++) {
                dpmax[i][j] = max(dpmax[i][j],dpmax[i][k]+dpmax[k+1][j]+cal(i,j));
                dpmin[i][j] = min(dpmin[i][j],dpmin[i][k]+dpmin[k+1][j]+cal(i,j));
            }
        }
    }
    int ans1=-1,ans2=99999999;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        ans1 = max(ans1,dpmax[i][i+n-1]);
        ans2 = min(ans2,dpmin[i][i+n-1]);
    }
    cout<<ans2<<endl<<ans1;
    return 0;
}

总体观察下来，我们发现区间DP有点像分治

但是此题的复杂度为O(n^3) 因此我们采用平行四边形不等式进行优化，使最终复杂度为O(n^2);

首先我们给出如下定义：

1.如果函数w满足： w[a,c] + w[b,c] \leq w[b,c]+w[a,d]（a<b<c<d） 则w满足四边形不等式（简称w为凸）
2.如果函数w满足： w[i,j]<=w[i'][j'] ([i,j]包含于[i',j']) 则说w关于区间包含关系单调   四边形不等式优化：1.对于一个函数w，如果a<=b<=c<=d,函数w有w(a,c)+w(c,d)<=w(a,d)+w(b,c),即交叉小于包含，我们就说函数w满足四边形不等式 2.对于另一个函数m，如果有m(i,j)=min{m(i,k−1),m(k,j)}+w(i,j)(i≤k≤j),且w具有区间包含单调性我们就说m也满足四边形不等式， 3.假如m满足四边形不等式，那么s(i,j)单调 即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)，s是记录m函数最优时下标的位置。 我们在此只是利用其中的结论。注意，同时注意这里的m取得必须是min，对于max并不满足上述内容，但对于max又有另一个结论，我们直接给出   即  使最大值最优的决策P[i][j]要么是i，要么是j−1 因此我们可以使用这一优化，让每次的分界线决策在一个常数内，因此整个算法的复杂度为O(n^2); 第一重循环控制长度，第二重循环控制DP位置，第三重循环控制每次循环时的分界线->第三重循环控制从s[i][j-1]~s[i+1][j]选择分界线 既然我们进行了优化，那么就要像01背包那样仔细去考虑如何去循环 第一重循环我们从后向前遍历 因为我们需要s[i+1][j]; 第二重循环我么从前向后遍历 因为我们需要s[i][j-1]; 关于上述内容的证明可以参考  （https://www.cnblogs.com/ybwowen/p/11116654.html）  

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int dp[maxn][maxn];
int dp2[maxn][maxn];
int n;
int a[maxn];
int sum[maxn];
int p[maxn][maxn];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i+n]=a[i];
    for(int i=1;i<=2*n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i],p[i][i]=i;
    for(int i=n<<1;i>=1;i--)
        for(int j=i+1;j<=n<<1;j++){
            dp[i][j]=0x3f3f3f3f;
            dp2[i][j]=max(dp2[i][i]+dp2[i+1][j],dp2[i][j-1]+dp2[j][j])+sum[j]-sum[i-1];
            for(int k=p[i][j-1];k<=p[i+1][j];k++)
                if(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]<dp[i][j]){
                    dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                    p[i][j]=k;
                }else if(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]==dp[i][j])
                    p[i][j]=max(p[i][j],k);
            
        }
    int ans=0x3f3f3f3f;
    int ans2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,dp[i][i+n-1]);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans2=max(ans2,dp2[i][i+n-1]); 
    printf("%d\n%d\n",ans,ans2);
    return 0;
}

 

    另外的一些关于四边形优化的知识可参考https://www.jianshu.com/p/3a5b7d8e007f

 

标签：洛谷,int,石子,P1880,循环,maxn,include,我们,dp
来源： https://www.cnblogs.com/delta-cnc/p/12353444.html