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J-u's的影响力（矩阵快速幂 + 欧拉降幂）

2020-02-05 12:05:39 作者：互联网

题目链接

欧拉降幂：因为 $x^{\phi (p)}\equiv 1 \mod (p)$ ,其中f（p）是欧拉函数，数值等于1-p中与p互质的数的个数。欧拉降幂的公式是

盗一张图，嘻嘻（图片上有出处哟~）

这题就是求x^(fab(k)),因为斐波那契数列增长的非常快，那么我们就需要在矩阵快速幂的时候对幂指数降幂，因为给的模数一般是质数，质数的欧拉函数的值就是mod-1，所以我们把指数%（mod-1）即可。一个质数与任何数互质，但是不与他的倍数互质，如果底数时p的倍数，那么这个公式就不成立了，那么在用第一个公式降幂时，需要加特判，即（a%p == 0），此时答案就是0，这是你一定又有疑问了，即使不特判，a%p == 0的时候算出来的值也是0呀？但是如果降幂后的指数是0呢，此时任何数的0次方都是1，但是真实答案确是0。所以在用第一个公式欧拉降幂的时候，一定要特判！！！

贴上我WA了14发后终于AC的代码！

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
static int mod=1e9+7;
const int N=2; 
ll tmp[N][N];
void mul(ll a[][N],ll b[][N])
{ 
    memset(tmp,0,sizeof tmp); 
    for(int i=0;i<N;i++) 
        for(int j=0;j<N;j++) 
        for(int k=0;k<N;k++) 
        {
            tmp[i][j]+=1ll*a[i][k]%mod*b[k][j]%mod%mod;
            tmp[i][j]%=mod;
        }
    for(int i=0;i<N;i++) 
        for(int j=0;j<N;j++) 
        a[i][j]=tmp[i][j];
} 
ll res[N][N]; 
void Pow(ll a[][N],ll y)
{ 
    memset(res,0,sizeof res);
    for(int i=0;i<N;i++) res[i][i]=1;
    while(y) 
    { 
        if(y&1)mul(res,a);
        mul(a,a);
        y>>=1; 
    }
}
ll fabs(ll k)
{
    if(k<=2)return 1;
    ll a[2][2];
    a[0][0]=a[0][1]=1;
    a[1][0]=1,a[1][1]=0;
    Pow(a,k-2);
    ll ans=(res[0][0]+res[0][1])%(mod);
    return ans;
}
ll ksm(ll a,ll b)
{
    a%=mod;
    ll ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans = (ans%mod * a%mod)%mod;
        a = (a%mod*a%mod)%mod;
        b/=2;
    }
    return ans%mod;
}
int main()
{
    ll n,x,y,a,b;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&x,&y,&a,&b);
    --mod;
    ll N1 = fabs(n-2);
    ll N2 = fabs(n-1);
    ll N3 = ((fabs(n) - 1 + mod)%mod);
    ++mod;
    if(n == 1)printf("%lld\n",x%mod);
    else if(n == 2)printf("%lld\n",y%mod);
    else if(x%mod==0||y%mod==0||a%mod==0)printf("%d\n",0);
    else
    {
        ll tmp = ksm(a,b);
        ll ans = ksm(x,N1)%mod * ksm(y,N2)%mod * ksm(tmp,N3)%mod%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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标签：降幂,ll,矩阵,互质,质数,欧拉,mod
来源： https://blog.csdn.net/weixin_44499508/article/details/104179933

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