Codeforces 1295D Same GCDs （欧拉定理）

Description：

You are given two integers a and m. Calculate the number of integers $x$x such that $0≤x<m$0≤x<m and $gcd(a,m)=gcd(a+x,m).$gcd(a,m)=gcd(a+x,m).

Note: $gcd(a,b)$gcd(a,b) is the greatest common divisor of $a$a and $b$b.

Input

The first line contains the single integer $T (1≤T≤50)$T(1≤T≤50) — the number of test cases.

Next T lines contain test cases — one per line. Each line contains two integers $a$a and $m (1≤a<m≤10^{10})$m(1≤a<m≤1010).

Output

Print $T$T integers — one per test case. For each test case print the number of appropriate $x-s.$x−s.

Example

input

3
4 9
5 10
42 9999999967

output

6
1
9999999966

Note

In the first test case appropriate $x-s$x−s are $[0,1,3,4,6,7]$[0,1,3,4,6,7].

In the second test case the only appropriate $x$x is $0$0.

题意：

给出两个正整数 $a$a 和 $m$m ，再给出 $x$x 的范围为$[ 0 , m )$[0,m)，现在要求满足 $gcd ( a , m ) = gcd ( a + x , m )$gcd(a,m)=gcd(a+x,m) 时 $x$x 的个数。

首先提取 $a$a 和 $m$m的最大公约数 $g$g，令 $a=xg，m=yg$a=xg，m=yg

题意就可转化为需要使得 $gcd(xg,yg) = gcd(xg+z,yg) = g$gcd(xg,yg)=gcd(xg+z,yg)=g

显然可知 $z$z为 $g$g 的倍数，令 $z = kg,k ∈[0,y)$z=kg,k∈[0,y)

那么所有满足 $gcd(x+k,y) = 1$gcd(x+k,y)=1的 $k$k 都可以，即求 $[x,x+y)$[x,x+y) 中与 $y$y 互素数的个数。

因为 $gcd(x,y) = gcd(y,y\%x)$gcd(x,y)=gcd(y,y%x)，故当 $x+k∈(y,x+y)$x+k∈(y,x+y) 时，$gcd(x+k,y) = gcd(y,(x+k)\%y)$gcd(x+k,y)=gcd(y,(x+k)%y)，

因为 $x<y,k ∈[0,y)$x<y,k∈[0,y) ,所以 $gcd(x+k,y)=gcd(y,(x+k)-y) =1$gcd(x+k,y)=gcd(y,(x+k)−y)=1

而 $x+k-y∈(0,x)$x+k−y∈(0,x)

所以 $(y,x+y)$(y,x+y) 中与 $y$y 互素数的个数与 $(0,x)$(0,x) 中与与 $y$y 互素数的个数相等。

所以答案就是 $[1,y]$[1,y] 中与 $y$y 互素数的个数。

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标签：integers,gcd,xg,yg,Codeforces,Same,test,1gcd,GCDs
来源： https://blog.csdn.net/qq_43627087/article/details/104114443