其他分享
首页 > 其他分享> > [SCOI2010] 股票交易（单调队列优化DP）

[SCOI2010] 股票交易（单调队列优化DP）

作者：互联网

链接：[SCOI2010] 股票交易

题意

最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来TTT天内某只股票的走势，第iii天的股票买入价为每股APiAP_iAPi​，第iii天的股票卖出价为每股BPiBP_iBPi​（数据保证对于每个iii，都有APi≥BPiAP_i \ge BP_iAPi​≥BPi​），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第iii天的一次买入至多只能购买ASiAS_iASi​股，一次卖出至多只能卖出BSiBS_iBSi​股。

另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔WWW天，也就是说如果在第iii天发生了交易，那么从第i+1i+1i+1天到第i+Wi+Wi+W天，均不能发生交易。

同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP\text{MaxP}MaxP。

在第111天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，TTT天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

0≤W<T≤20000\leq W<T\leq 20000≤W<T≤2000
1≤MaxP≤20001\leq\text{MaxP}\leq20001≤MaxP≤2000
1≤BPi≤APi≤10001\leq BP_i\leq AP_i\leq 10001≤BPi​≤APi​≤1000
1≤ASi,BSi≤MaxP1\leq AS_i,BS_i\leq\text{MaxP}1≤ASi​,BSi​≤MaxP


分析

dp状态并不难想，以 前iii天 作为 阶段，以 第iii天结束时持有jjj股 为 状态，可得：

F(i,j)F(i,j)F(i,j)：表示第iii天结束时持有jjj股的最大总收益


共有333种状态转移的情况：

  1. 第iii天不进行任何交易；
  2. 第iii天买入j−kj-kj−k股，由于交易需间隔WWW天，故对应F(i−W−1,k)F(i-W-1,k)F(i−W−1,k)，因为0<j−k≤ASi0\lt j-k\le AS_i0<j−k≤ASi​，所以j−ASi≤k<jj-AS_i\le k\lt jj−ASi​≤k<j；
  3. 第iii天卖出k−jk-jk−j股，由于交易需间隔WWW天，故对应F(i−W−1,k)F(i-W-1,k)F(i−W−1,k)，因为0<k−j≤BSi0\lt k-j\le BS_i0<k−j≤BSi​，所以j<k≤j+BSij\lt k\le j+BS_ij<k≤j+BSi​；

状态转移方程：
F(i,j)={F(i−1,j)max⁡j−ASi≤k<j{F(i−W−1,k)−(j−k)∗APi}max⁡j<k≤j+BSi{F(i−W−1,k)+(k−j)∗BPi}                        1≤i≤T,0≤j≤MaxPF(i,j)=\begin{cases} F(i-1,j)\\ \max\limits_{j-AS_i\le k\lt j}\{F(i-W-1,k)-(j-k)*AP_i\}\\ \max\limits_{j\lt k\le j+BS_i}\{F(i-W-1,k)+(k-j)*BP_i\} \\\end{cases}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\le i\le T,0\le j\le \text{MaxP}F(i,j)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​F(i−1,j)j−ASi​≤k<jmax​{F(i−W−1,k)−(j−k)∗APi​}j<k≤j+BSi​max​{F(i−W−1,k)+(k−j)∗BPi​}​1≤i≤T,0≤j≤MaxP
初值：F(0,0)=0F(0,0)=0F(0,0)=0，其余均为−∞-\infin−∞；
目标：max⁡0≤j≤MaxP{F(T,i)}\max\limits_{0\le j\le \text{MaxP}}\{F(T,i)\}0≤j≤MaxPmax​{F(T,i)}；

直接采用三重循环的时间复杂度会达到O(T⋅MaxP2)O(T\cdot\text{MaxP}^2)O(T⋅MaxP2)，故需要对其进行优化，显然状态转移方程的②式和③式满足单调队列优化的条件 （1D/1D动态规划优化），当固定阶段iii时，有：

  1. 决策kkk的上下边界是关于状态jjj的一次函数；
  2. 除F(i−W−1,k)F(i-W-1,k)F(i−W−1,k)外的冗余部分是关于jjj和kkk的一次函数

以②式为例，F(i,j)=max⁡j−ASi≤k<j{F(i−W−1,k)−(j−k)∗APi}F(i,j)=\max\limits_{j-AS_i\le k\lt j}\{F(i-W-1,k)-(j-k)*AP_i\}F(i,j)=j−ASi​≤k<jmax​{F(i−W−1,k)−(j−k)∗APi​}

可转化为：F(i,j)=max⁡j−ASi≤k<j{G(i,k)}−j∗APiF(i,j)=\max\limits_{j-AS_i\le k\lt j}\{G(i,k)\}-j*AP_iF(i,j)=j−ASi​≤k<jmax​{G(i,k)}−j∗APi​，其中G(i,k)=F(i−W−1,k)+k∗APiG(i,k)=F(i-W-1,k)+k*AP_iG(i,k)=F(i−W−1,k)+k∗APi​；

对于 任意jjj，第一部分的值是相等的，最优决策kkk只需要满足在范围内即可，故只需要维护 一个G(i,k)G(i,k)G(i,k)递减，k∈[j−ASi,j)k\in[j-AS_i,j)k∈[j−ASi​,j)的单调队列 即可。

对③式做相同处理即可，注意处理下标越界情况，最后总的时间复杂度度为O(T⋅MaxP)O(T\cdot\text{MaxP})O(T⋅MaxP)


代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2e3+10;
int T,MaxP,W;
int AP[maxn],BP[maxn],AS[maxn],BS[maxn];
int F[maxn][maxn];
int GA(int i,int k)
{
    return F[max(0,i-W-1)][k]+k*AP[i];
}
int GB(int i,int k)
{
    return F[max(0,i-W-1)][k]+k*BP[i];
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d",&T,&MaxP,&W);
    for(int i=1;i<=T;i++)
        scanf("%d %d %d %d",&AP[i],&BP[i],&AS[i],&BS[i]);
    memset(F,0xcf,sizeof(F));
    F[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        //第i天不交易
        for(int j=0;j<=MaxP;j++)
            F[i][j]=F[i-1][j];
 
 
        //第i天买入j-k股
        deque<int> q;
        for(int j=0;j<=MaxP;j++)
        {
            while(!q.empty()&&q.front()<j-AS[i])     //保证下界j-AS[i]
                q.pop_front();
            if(!q.empty())
                F[i][j]=max(F[i][j],GA(i,q.front())-j*AP[i]);
            while(!q.empty()&&GA(i,q.back())<=GA(i,j))
                q.pop_back();
            q.push_back(j);      //新加入的k一定小于j，保证了上界j
        }
 
        //第i天卖出k-j股
        q.clear();
        for(int k=1;k<=min(MaxP,BS[i]);k++)
        {
            while(!q.empty()&&GB(i,q.back())<=GB(i,k))
                q.pop_back();
            q.push_back(k);
        }
        for(int j=0;j<=MaxP;j++)
        {
            while(!q.empty()&&q.front()<=j)      //保证下界j
                q.pop_front();
            if(!q.empty())
                F[i][j]=max(F[i][j],GB(i,q.front())-j*BP[i]);
            if(j+BS[i]+1<=MaxP)      
            {
                while(!q.empty()&&GB(i,q.back())<=GB(i,j+BS[i]+1))
                    q.pop_back();
                q.push_back(j+BS[i]+1);    //新加入的k一定小于等于j+BS[i]，保证了上界j+BS[i]
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int j=0;j<=MaxP;j++)
        ans=max(ans,F[T][j]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
墓华 发布了214 篇原创文章 · 获赞 40 · 访问量 2万+ 私信 关注

标签：le,队列,max,MaxP,int,ASi,iii,DP,SCOI2010
来源： https://blog.csdn.net/Ratina/article/details/104101607