Miller-Rabin素数判定
作者:互联网
Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。它利用了费马小定理和二次探测
费马小定理:如果p是质数,且a,p互质,那么a(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题,对于一个p,我们只要举出一个a(a<p)不符合这个恒等式,则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数
但是每次尝试过程中还做了一个优化操作,以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测
二次探测定理:如果p是一个素数,那么对于x(0<x<p),若x2 mod p 等于1,则x=1或p-1。逆否命题:如果对于x(0<x<p),若x2 mod p 不等于1,则p不是素数。根据这个定理,我们要计算a(p-1) mod p是否等于1时,可以这样计算,设p-1=(2t) * k。我们从ak开始,不断将其平方直到得到a(p-1),一旦发现某次平方后mod p等于1了,那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件,立即检查x是否等于1或p-1,如果不是则可直接判定p为合数
// Miller_Rabin 算法进行素数测试可以判断 <2^63的数
typedef long long ll;
const ll Mod = 1000000007;
const int S=20;//随机算法判定次数,S越大,判错概率越小
//减法实现比取模速度快
ll Mult_mod (ll a,ll b,ll c){ //返回(a*b) mod c,a,b,c<2^63
a%=c;
b%=c;
ll ret=0;
while (b){
if (b&1){
ret+=a;
if (ret>=c) ret-=c;
}
a<<=1;
if (a>=c) a-=c;
b>>=1;
}
return ret;
}
//计算 x^n %c
ll Pow_mod (ll x,ll n,ll mod){
if (n==1) return x%mod;
x%=mod;
ll tmp=x;
ll ret=1;
while (n){
if (n&1) ret=Mult_mod(ret,tmp,mod);
tmp=Mult_mod(tmp,tmp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}
//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool Check (ll a,ll n,ll x,ll t){
ll ret=Pow_mod(a,x,n);
ll last=ret;
for (int i=1;i<=t;i++){
ret=Mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true; //合数
last=ret;
}
if (ret!=1) return true;
return false;
}
//素数判定直接调用的函数
//是素数返回true(可能是伪素数,但概率极小),合数返回false
bool Miller_Rabin (ll n){
if (n<2) return false;
if (n==2) return true;
if ((n&1)==0) return false;//偶数
ll x=n-1;
ll t=0;
while ((x&1)==0) { x>>=1; t++; }
for (int i=0;i<S;i++){
ll a=rand()%(n-1)+1; //rand()需要stdlib.h头文件
if (Check(a,n,x,t))
return false;//合数
}
return true;
}
Happig丶
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标签:tmp,Miller,ll,ret,素数,等于,Rabin,mod 来源: https://blog.csdn.net/qq_44691917/article/details/104095785