F - 青蛙的约会

F - 青蛙的约会

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题目描述：

2只乐观的青蛙要求约会。他们沿着同一方向，绕着地球跳。可以看出2只青蛙在一条由数轴首尾相连围成的圈。青蛙A在坐标x处开始跳，每次跳m米，青蛙B在坐标y处开始跳，每次跳n米。他们都是沿着数轴的正方向跳。数轴长L米。问2只青蛙能否见面，若能，要跳多少次。

分析：

2只青蛙都是沿同一方向跳的。假设他们跳t次能见面。跳了k圈。那么就有关系式。x+m * t-(y+n * t)=k*l。可以写成

(n-m) * t+l * k=x-y。因为n-m,l,x-y都是常数，所以：令a=n-m,b=l,c=x-y。就得到a * t+b * k=c。

问题就转化成，求a * x+b * y=c的最小解x。

求解该方程就用到扩展欧几里得。

因为a * x+b * y=gcd(a,b)。一定有解(x0,y0)。把gcd(a,b)变成c，就是令x'=c/gcd(a,b) *x0,y'=c/gcd(a,b) *y0。

就是a * x'+b * y'=c。

可以得到它的通解x'=c * x0 + b/gcd(a,b) * z。y'=c * y0 + a/gcd(a,b) * z。（z为任意整数）

推导参考：https://www.cnblogs.com/yuelingzhi/archive/2011/08/13/2137582.html

我们要求最小解，比如求最小的x。x=x' % (b/gcd(a,b)) 。因为我们可以令z为适当的负数，使x'最小使它的余数。

注意：

我们使用的exgcd一般使a>b的，如果n-m比l要小，可以调下位置，这时我们求得就是最小的y了。

要特判一下，如果2青蛙跳的距离一样，那么他们就见不了面了。

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    ll d=a;
    if(b!=0)
    {
        d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
    else
    {
        x=1;
        y=0;
    }
    return d;
}
int main()
{
    ll x,y,m,n,l;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    ll c=x-y;
    ll cop=n-m;
    ll a,b;
    ll x0=0;
    ll y0=0;
    if(cop==0) 
    {
        printf("Impossible\n");
        return 0;
    }
    
    if(cop>l)
    {
        a=cop;
        b=l;
        int p=exgcd(a,b,x0,y0);
        if(c%p!=0)
        {
            printf("Impossible\n");
        }
        else
        {
            //因为它可能为负数，负数取模
            ll ans=((c/p*x0)%(b/p)+b/p)%(b/p);
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    else
    {
        a=l;
        b=cop;
        int p=exgcd(a,b,x0,y0);
        if(c%p!=0)
        {
            printf("Impossible\n");
        }
        else
        {
            ll ans=((c/p*y0)%(a/p)+a/p)%(a/p);
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    
    return 0;
}
​
 

 

标签：gcd,约会,青蛙,碰面,y0,x0,ll
来源： https://www.cnblogs.com/studyshare777/p/12232431.html