几何-正十七边形：百科
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正十七边形是指几何学中有17条边及17只角的正多边形。正十七边形的每个内角约为158.823529411765°，其内角和为2700°，有119条对角线。最早发现其形状可用尺规作图法作出的是高斯。
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- 中文名：正十七边形
- 外文名：Heptadecagon
- 类 别：形状的一种
- 适用范围：几何学
- 对角线：119条
- 内角和：2700°
目录
起源
最早的十七边形画法创造人是高斯【1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。但是，高斯本人并没有用尺规做出正十七边形，事实上，完成证明之后正十七边形的做法对数学研究者是显而易见的。第一个真正的正十七边形尺规作图法是在1825年由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出.】。
高斯（1777─1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。年仅三岁，就学会了算术，八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献。
作法
先计算或作出cos(360°/17) 设正17边形中心角为a，则17a=360°,即16a=360°-a 故sin 16a=-sin a，而 sin 16a=2sin 8a·cos 8a=4sin 4a·cos 4a·cos 8a=16sin a·cos a·cos 2a·cos 4a·cos 8a 因sin a不等于0，两边除之有： 16cos a·cos 2a·cos 4a·cos 8a=-1 又由2cos a·cos 2a=cos a+cos 3a(三角函数积化和差公式)等 注意到cos 15a=cos 2a,cos 12a=cos 5a(诱导公式)等，有 2(cos a+co s2a+…+cos 8a)=-1 令 x=cos a+cos 2a+cos 4a+cos 8a y=cos 3a+cos 5a+cos 6a+cos 7a 有： x+y=
又xy=(cos a+cos 2a+cos 4a+cos 8a)(cos 3a+cos 5a+cos 6a+cos 7a)
=
(cos 2a+cos 4a+cos 4a+cos 6a+…+cos 14a+cos 15a)
经计算知xy=-1
因而：x=
,y=
其次再设：
=cos a+cos 4a,x2=cos 2a+cos 8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=
y1+y2=
最后，由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,
它是有理数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
做法
1.给一圆O，作两垂直的直径AB、CD.
2.在OA上作E点使OE=1/4AO,连结CE.
3.作∠CEB的平分线EF.4.作∠FEB的平分线EG,交CO于P.
5.作∠GEH=45°,交CD于Q.
6.以CQ为直径作圆,交OB于K.
7.以P为圆心,PK为半径作圆,交CD于L、M.
8.分别过M、L作CD的垂线,交圆O于N、R.
9.作弧NR的中点S,以SN为半径将圆O分成17等份.
简易作法
因为360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′，在不要求十分精确的情况下还是可行的。 作法如下： 1.先画一条直线，用圆规在上面截取5条相等线段，(尽量越短越好),再截取之前四条线段的和，接续之前画的线段。这样，如果每条小线段算作0.1的话，那么整条线段就是1.8。 2.用圆规截取之前5条小线段的长，画5次，这样这条线段就是5。1.8/5=0.36。准备工作完毕！ 3.另作一条直线，作垂线，1.8的线段作为对边，5的线段作为斜边，那个最小的锐角即是近似的360°/17的角。以其顶点为圆心，重复作角直至闭合。画一大圆，连接其与17条射线的交点，即可。 2、| 2.返回顶部 |
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