数论GPBH，所以开坑

常见的数论函数

莫比乌斯函数$\mu$

1.定义：

• $\mu (1)=1$
• 若$d$没有平方因子，$\mu (d) = (-1)^k$，$k$为$d$的质因数个数
• 否则$\mu (d)=0$

2.性质：

• 对于任意正整数$n$，有$\sum \limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]$。
• $\mu$为积性函数。
• $\sum \limits _{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$

欧拉函数$\varphi $

1.定义：

• $\varphi (n)= \sum \limits _{i=1}^{n} [gcd(i,n)=1]$

2.性质：

• $\sum \limits _{d|n} \varphi (d)=n$
• $\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i})$
• $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod {m}$
• 对于$n=p^k$，有$\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1}$
• 积性函数

约数个数$d()$

1.定义：

• RT

2.性质：积性函数

约数和$\sigma ()$

1.定义：

• RT

2.性质：积性函数

元函数$\epsilon$

1.定义：

• $\epsilon(n)=[n=1]$

2.性质：

• 对于任意积性函数$f$，有$f*\epsilon=f$。
• 积性函数

恒等函数$I()$

1.定义：

• $I(n)$恒为1。

2.性质：

• 积性函数

单位函数$id()$

1.定义：

• $id(n)=n$

2.性质：

• 积性函数

 

To Be Continued.

标签：函数,乱写,sum,笔记,mu,数论,varphi,积性,定义
来源： https://www.cnblogs.com/Rorschach-XR/p/11754321.html