【NOIP2017】小凯的疑惑

原题：

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。

a,b<=10^9

 

结论题，记得我当时在现场大力打表做出来了

听说好像还是小学奥数题

不过数论推结论不难

由裴蜀定理及其引理，因为gcd(a,b)=1，所以对于任意整数c，都存在整数x和y满足ax+by=c

既然丢番图方程有解，为什么还会存在不能支付的价格？

因为丢番图方程允许有负解，但是支付的时候不能付负数的钞票（那样大概算找钱吧）

所以目标转化为，寻找最大的整数c，使得不存在非零整数x和y，满足ax+by=c

联想到解丢番图方程时对于负解向正解的转化

丢番图方程存在通解：x0+k*(b/d)，y0-k*(a/d)，其中d=gcd(a,b)

那么可以发现存在C使得当c>C时方程有正整数解的原因

因为当c很大，x0就可以很大，那么即使y0是负值，也能通过让x0减少，y0增加的方式调整，使得x0和y0都是赋值

这启发我们找到一个思路：对于一个正整数x0，检查所有不能通过调整来达到整数的y0的特点

因为d=1，所以方程的通解实际为x0-k*b，y0+k*a

x0在保证自身不为负的情况下最多给y0提供⌊x0/b⌋*a

当y0+⌊x0/b⌋*a<0，也就是y0<-⌊x0/b⌋*a时，a*x0+b*y0=c没有正整数解

则c<=a*x0+b*(-⌊x0/b⌋*a-1)=a*x0-a*b*⌊x0/b⌋-b=a*(x0-b*⌊x0/b⌋)-b=a*(x0%b)-b

由于x0是任意正整数，所以x0%b的最大值为b-1

所以c的最大值为a*(b-1)-b=a*b-a-b

 

代码就两行，不贴了

标签：小凯,NOIP2017,方程,正整数,丢番,y0,x0,疑惑
来源： https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11619920.html