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5、B数、B+数、红黑树

2019-09-30 11:55:12 作者：互联网

2-3树

关键字 1-2 个
子节点 2-3 个

平衡树：子节点的高度一致

B树（Balacned Tree）

一种平衡的多分树

平衡：所有的叶结点在同一层，所以每个子节点的高度一致

m阶B树的结构定义

1、每个结点至多有m个子结点
2、除根节点和叶节点外，其他每个结点至少有m/2（向上取整）个结点
3、根结点至少有两个子结点

唯一例外的是根节点就是叶结点时没有子结点
此时B树只包含一个结点

4、所有的叶结点在同一层（平衡）
5、有k个子节点的非根节点恰好包含k-1个关键码

B树的性质

1、树高平衡，所有叶结点都在同一层
2、关键码没有重复，父结点中的关键码是其子结点的分界
3、B树把（值接近）相关记录放在同一个磁盘页中，从而利用局部性原理
4、B树保证树中至少有一定比例的结点是满的（每个结点有至少有m/2个子节点，半满）

这样能改进空间的利用率（如果每个节点只有1个子节点，BST，树高会很高，空间利用率低）
减少索引和更新操作的磁盘读取数目（如果每个节点有m个子节点，全满，那么每次插入的时候没处插了）

QM总结：

除根节点和叶节点外，M阶B树每个节点有m/2~m个结点，根节点至少有两个子节点（插入时多次分裂）
有k个子节点的非根节点恰好包含k-1个关键码
父结点中的关键码是其子结点的分界

B树的节点结构

B树的一个包含j个关键码，j+1个指针的节点的一般形式为：

P0，K1，P1，K2，P2....Kj，Pj  #j个关键码，j+1个指针指向子节点

其中ki是关键码值，K1<K2<….<Kj
Pi是指向Ki到Ki+1之间的关键码的子树的指针

QM总结：

如果有j个关键字，那么有可以表示j+1个区间，即有j+1个子节点
关键词下标从1开始，P从0开始，Pi是指向Ki到Ki+1之间的关键码的子树的指针
举个例子：P0指向K0到K1之间，即小于K1的，P1指向K1到K2

B树结点抽象数据类型

class BNode{
    int n;//子节点的个数
    BNode<Key> *parent;//指向父节点的指针（可有可不有）
    Key key[MAXREC];//存储关键码的数组，最多有MAXREC个关键码
    BNode<Key> *ptr[MAXREC+1];//指向子节点的指针，最多有MAXREC+1个指针
}

B树的查找

1、把根节点读出来，在根节点所包含的关键码K1…Kj中查找给定的关键码值。当关键码不多时，就用顺序检索，当节点包含的关键码较多时，可以用二分检索。如果找到则检索成功

2、否则，确定要查的关键码指在某个Ki和Ki+1之间，那么去Pi所指向的节点继续查找

下图为查找24的过程

如果树高为h，则查找时访问外存的次数是h

注意：
每个关键码表示索引，找到索引后，每个关键码还对应一个指向外存的指针，这样通过索引才可以访问到完整的记录

B树的插入（分裂向上生长）

情况1：

首先判断关键码14是否存在，按照图中的轨迹查找，此时到15所在的节点，遍历后发现没有14，则在该节点中插入

此时外存读的次数是3，写的次数是1

情况2：

插入可能导致B树朝着根的方向生长，即当插入位置超过关键字的最大个数，节点需要进行分裂

如插入55，但2-3树要求关键字数只由1~2个，此时插入节点50，52已经达到个数，55无法直接插入，需要进行分裂

50 52 55如何拆分？

父节点需要增加一个节点进行区分子节点拆分后的节点，采用二分的方法，将中间的52送到父节点，得到结果：

此时读的次数3，写的次数3（申请两个节点，并分别写入，这里包含两次写，还有在父节点中写入1次）

情况3：

多次分裂，树向上生长

最终的结果是：

B数的删除（向左或向右合并）

6阶B树删除45

对于6阶B树，子节点树要求m/2~m，即 3~6，关键码的个数为2~5，在删除的过程中需要防止下溢出，即关键码的数量小于规定的个数

在删除掉45后，当前节点只有110一个关键字，下溢出了。其中一种方案是向左右节点借关键码，同时要将父节点拉下来，这里演示向右节点借关键码。此时合并的关键码有110，112，135，143，212，需要进行分裂，根据二分分裂的方式，将135移到父节点，即用135替换123，然后子节点分裂，反别是110，112和142，212，结果是：