2019.8.13 模拟赛

T1

题意

有一个\(1...n\)的排列,现在给出\(n\)和一个正整数\(k\),代表目标是原序列右移\(k\)次的结果(右移一位代表将当前的序列末尾插入头上,如\(12345\)右移两次是\(45123\))你可以进行任意次操作,每次反转一个区间\([l,r]\),最终使得原序列变为目标序列.最小化操作次数并输出任意一组方案.

\(0≤k<n≤100\)

解法

事实上,这个题完全是结论题因为你可以发现,无论是什么样的情况,都只需要0或1或2或3次就搞定了.因为根本上,它的原始序列是\(1...n\),所以右移后一定能分成至多两个有序的部分.

0:没有右移,不需要反转

1:\(n=2\)且\(k=1\)时

2:\(k=n-1\)或\(k=1\)时,只要先反转\(1...n-1\)或\(2...n\),然后全局反转就可以了

3:其他情况,懒得讲了.

T2

题意

现在给出\(n\)个在\(1...9\)之间的正整数,你可以将它们任意排列组合,并分成\(k\)份,每份组成一个十进制数字.最小化这些数字的最大值.

\(1≤k≤n≤100000,1≤t≤5\)

解法

首先我们可以发现一些性质:

1. 所有这些十进制数字都是按位递增的,也就是没有\(54321\)这种数
2. 最大值的位数是\(ceil(n/k)\)位,而有些是\(floor(n/k)\)位.

我们可以把最大的数丢给位数少的数字.

T3

题意

给定一棵\(n\)个点的树,从中选出若干个点,使得任意选中的两点之间距离\(\le k\),两点之间的距离定义为树上两点间简单路径经过的边数.询问有多少符合题意的选择方法.

\(1≤n≤10000,1≤k≤min(500,n)\)

解法

我们来考虑如何判断两点之间的距离是不是小于等于\(k\).假设我们的两棵子树内的点已经都满足了.那么我们就需要判断子树间点的距离.我们记录离这个点最近的点

即设\(f_{i,j}\)表示以\(i\)为根的子树,子树内部已经满足条件了,选出的点中离\(i\)最近的点的距离为\(j\)的方案数.合并子树时要满足的条件是:子树间点的距离\(>=k,j_1+j_2+2>=k\).新的\(j=max(j_1,j_2)+1\)

合并子树时,枚举\(j_1,j_2\)满足\(j_1+j_2+2>=k\).\(f_{x,max(j_1,j_2)+1}+=f_{c_1,j_1}×f_{c_2,j_2}\)

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