ZROI 暑期高端峰会 A班 Day4 树上数据结构
作者：互联网
FBI Warning：本文含有大量人类的本质之一。
你经历过绝望吗？
[ZJOI2007]捉迷藏
询问树上最远黑点对。
动态边分治可以比点分治少一个 \(\log\)。
bzoj3730
咕了。
[ZJOI2015]幻想乡战略游戏
动态维护一棵树的带权重心。每个点度数 \(\le 20\)。
暴力：从根往最重的跳，能跳就跳。
动态点分治加速即可。
边分治？链分治？
边分治和点分治很像，找一条边使得剩下部分尽量平衡。
不过直接这样会被菊花图卡掉。
然后就要……用某些方法变成二叉树。
咕了。这么重要的东西，肯定回来补的。
[Ynoi2012]D1T3
开 幕 雷 击
每次查询时，考虑在点分树上找到深度最浅的点，满足这个点被保留区间点 \(x\) 所在连通块包含。暴力跳即可。
那么把根固定下来统计。具体就是问子树中对于点满足它到根的路径上有 \(\min\ge l,\max\le r\)，不同的颜色数有多少。
询问离线按根分类，对每个根按 \(l\) 排序，CDQ 分治即可。
floj 307 不可知圆环/CF1010F
一棵树，可以随意删边，问使得 \(1\) 所在连通块大小为 \(k\) 的方案数。
明显可以 DP。\(f_{x,i}\) 表示 \(x\) 的子树，删到 \(x\) 所在连通块恰好为 \(i\) 方案数。
写成生成函数的形式：\(F_u(x)=x\prod(F_v(x)+1)\)。
树链剖分。对于每条重链：
\(F_u(x)\) 表示考虑重儿子的生成函数，\(A_u(x)\) 表示不考虑重儿子的生成函数再乘上 \(x\)。
对于重链底端，\(F_u(x)=A_u(x)\)。否则 \(F_u(x)=A_u(x)(F_v(x)+1)\)。
对于一条重链分治求。对于两条重链之间暴力。复杂度应该是三个 \(\log\)。
[Ynoi2012]D2T3
对于度数小于等于根号的点，暴力。
对于度数大于根号的点，点数不会太多。
这种做法是根号的。
套路：对每个点，只维护轻儿子。修改时只有轻边的父亲需要动态维护。
由于轻边只有 \(\log\) 条，复杂度就是两个 \(\log\)。
又是链分治
咕了。
百度必应边分治和链分治去了……
UOJ191
发现明显是个上凸包。
然后把操作看成是操作树，末尾加一个元素看作走向一个儿子，末尾删除一个儿子看作回溯。
就是问一条路径的上凸包中，某个点处的值。
然后就是询问一条链上的上凸包。可以启发式合并。（不知道能不能李超线段树……）
复杂度应该是两个 \(\log\)。
？？？
\(n\) 个点的树，\(q\) 次操作，修改单点点权或者询问最大权值连通块。
动态 DP。就是子树内包含/不包含根的。没了。
？？？
一棵树，每个点可以用 \(a_u\) 代价选中子树中所有叶子。每次单点修改 \(a\)，询问选中所有叶子的最小代价。
DP。\(f_u\) 表示……
动态 DP 套路，重链剖分。没了。
LCT
太棒了终于有会的了
动态DP
太棒了终于又有会的了
注意的是也可以用 LCT 维护。神奇的是，这里 LCT 跑得更快。
？？？
\(n\) 个人（\(0\) 到 \(n-1\)），第 \(i\) 个人手上有个 \(a_i\)
最开始有个数 \(x=0\)。从 \(0\) 到 \(n-1\)，每个人可以选择是否变成 \((x+a_i)\bmod n\)
游戏结束后第 \(x\) 个人获胜
每个人采取如下策略：只有当变了 \(x\) 能必胜，且不变不必胜的情况下，他才会变动 \(x\)。
\(q\) 次操作，每次修改 \(a_i\)，询问谁获胜。
\(n,q\le 10^5\)
首先肯定只会最多一个人动手。因为如果两个人动手，前面那个人就没有必胜了，矛盾。
而且动了手后 \(x\) 一定会变成 \(i\)。
\(i\) 朝 \((i-a_i)\bmod n\) 连边。当 \((i-a_i)\bmod n\ge i\) 时毫无意义，因为 \(x\) 一定是移动后能必胜才变的，所以对于前 \(i\) 个人不可能变出 \(\ge i\) 的数。
这形成了一个森林（大点往小点连边）。
只考虑有 \(0\) 的那棵树。
\(f_x\) 表示如果从 \(0\) 一路变到 \(fa_x\)，\(x\) 是否会选择把它变成 \(x\)。
然后就是个开枪游戏（？），LCT 维护动态 DP 即可。
Codechef Pushflow
\(n\) 个点的图，每个点最多属于一个简单环（点仙人掌？），边有边权。
\(m\) 次操作，询问两点之间最大流，或者修改一个边权。
\(n,m\le 10^5\)
最大流就是最小割。
最小割要么是切环上两条边，要么是切一条树边。
对于环边，肯定有一条是最小边，那么把它删掉，并把它的边权加到这个环上其它边的边权上。
那么此时剩下的肯定是一棵树，就是求链上最小值了。
修改边权，如果是树边，直接搞；如果是环边，就需要更新最小值和树形态了。
用 LCT 可以做到 \(O(m\log n)\)。（大常数……）
WineDAG's Prevention
\(n\) 个点的树 \(q\) 次操作，单点修改点权，翻转路径上点权，询问路径和、最大值、最小值。
\(n,q\le 10^5\)
考虑 LCT。对每一块用一棵 Splay 维护形态，另一棵权值 Splay 维护权值，次序一一对应。
复杂度 \(O(q\log n)\)。
CF1137F
给一棵树，每个点有一个优先级，初始为自己的标号。……
先把最大标号作为根。
考虑 \(x\) 和 \(y\) 哪个先被删。
如果 \(x\) 是 \(y\) 的祖先，明显 \(y\) 先被删。
否则就比较子树最大值，小的那个先被删。
由于每次会把一个点改成最大值+1，考虑 LCT 维护 access 连续段，等价于换根，并且整体修改到原来跟上一段路径的子树最大值。
然后就是查询全局排名。
？？？
三部分点 A,B,C，各有 \(n_1,n_2,n_3\) 个点。
其中 AB 构成一棵树，AC 构成一棵树，A 之间的点没有连边。
随机 \(i,j\) 把 \(B_1\) 到 \(B_i\)，\(C_1\) 到 \(C_j\) 删了，问 \(A\) 仍然联通的概率。
\(n_i\le 10^5\)
发现 \(i\) 递增的时候，使得 \(A\) 联通的 \(j\) 递减。
动态维护连通性即可。（然而这玩意我还没打过……）
标签：LCT,le,log,Day4,分治,一棵树,暑期,ZROI,DP 来源： https://www.cnblogs.com/1000Suns/p/11382490.html