[Violet]樱花

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题目大意：
求解一个形如
\[\frac1x+\frac1y=\frac1{n!}\]
的方程正整数解\(x,y\)的个数。

显然$ x,y>n!$

那么我们可以设\(y=n!+d\)

则：
\[\frac1x+\frac1y=\frac1{n!}\]
\[xn!+yn!=xy\]
\[(x+y)n!=xy\]
\[(x+d+n!)n!=x(n!+d)\]
\[x=\frac{n!}d+n!\]

所以：我们要找\(x\)的正整数解，既要找出来正整数\(d\)使得\(x\)也是正整数。显然，这就是找\((n!)^2\)的所有正约数.

然后就暴力就好辣qwq

还有一个不知道叫什么名的定理就是一个数\(x\)的约数个数\(d=\)
把\(x\)质因数分解，写成

\[x=\Pi_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\]

(p是质数，k是x的质因数个数，重复不计)
的形式。

那么，x的约数个数为

\[\Pi_{i=1}^{k}(c_i+1)\]

emmmmmm，我这种蒟蒻是肯定不会证的（大雾

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef long double ld;

const ll N = 1e6+1;
const ll inf = 2147483647;
const ll mod = 1e9+7;
const double eps = 1e-5;

ll n;
ll ans=1;
ll c[N],p[N];
ll vis[N],m[N];
int cnt;

inline void readx(ll &x)
{
    x=0;
    int s=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            s=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    x*=s;
}

inline void screen()
{
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i])
        {
            p[++cnt]=i;
            m[i]=cnt;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=n;++j)
        {
            vis[i*p[j]]=1;
            m[i*p[j]]=j;// m[i] 表示 i 的最小质因子 
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}

inline void solve(int x)
{
    while(x!=1)
    {
        ++c[m[x]];
        x/=p[m[x]];
    }
}

int main()
{
    readx(n);
    screen();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        solve(i);
    for(int i=1;i<=N;++i)
        if(c[i])
            ans=ans*(c[i]*2+1)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

标签：樱花,约数,ch,const,ll,Violet,正整数,include
来源： https://www.cnblogs.com/oierwyh/p/11342173.html