仓库建设(HYSBZ - 1096)

题目

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。
突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象 部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。
第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：
1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
2：工厂i目前已有成品数量Pi;
3：在工厂i建立仓库的费用Ci;
请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含三个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output
32

Hint
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

思路：既然出现在斜率优化DP专题，很明显的啦，这里我们首先要找到状态转移方程~
首先令f[i]为这个位置建仓库的最少花费，那么有

f[i]=min(f[j]+cost(j,i)) 也就是从j到i之间的物品放在i这个仓库里面

那么我们怎样计算呢？

a[i]为p[i]的前缀和
b[i]表示x[i]*p[i]前缀和
如果所有物品都从1开始运到i，则费用为（a[i]-a[j]）*x[i]
但由于物品的起始点不在1，所以每个物品可以少花费x[i]*p[i],一共可以少花费(b[i]-b[j])
b[i]为x[i]*p[i]的前缀和
所以f[i]=f[j]+(a[i]-a[j])*x[i]-(b[i]-b[j])+c[i];
这里就涉及到斜率优化的问题，设k<j<i，如果j比k更优则取j
而j比k更优的情况为：（有没有等于号差不多，建议加上等于号)

代码如下啦~

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int mx=1e6+10;
ll x[mx],p[mx],c[mx];//输入的三个数据组成的数组
ll f[mx],a[mx],b[mx];//分别为结果，两个前缀和
int q[mx];//该数组模拟数组

double slope(int i,int j)//计算斜率嘛
{
	return double(f[j]-f[i]+b[j]-b[i])/double(a[j]-a[i]);
}

int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	memset(a,0,sizeof(a));
	memset(b,0,sizeof(b));
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
		a[i]=a[i-1]+p[i];
		b[i]=b[i-1]+x[i]*p[i];
	}
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<=x[i])//如果满足的话，去掉队头
		l++;
		int j=q[l];
		f[i]=f[j]+(a[i]-a[j])*x[i]+b[j]-b[i]+c[i];//得到结果
		while(l<r&&slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r]))//最后筛选，维护下凸包
		r--;
		q[++r]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[t]);//输出结果啦
	return 0;
}

标签：费用,1096,10,仓库,HYSBZ,工厂,int,mx
来源： https://blog.csdn.net/weixin_43901733/article/details/99200061