246. 区间最大公约数(线段树+树状数组)

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/247/
给定一个长度为N的数列A，以及M条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1、“C l r d”，表示把 A[l],A[l+1],…,A[r] 都加上 d。

2、“Q l r”，表示询问 A[l],A[l+1],…,A[r] 的最大公约数(GCD)。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。
输入格式

第一行两个整数N,M。

第二行N个整数A[i]。

接下来M行表示M条指令，每条指令的格式如题目描述所示。
输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。
数据范围

N≤500000,M≤100000

输入样例：

5 5
1 3 5 7 9
Q 1 5
C 1 5 1
Q 1 5
C 3 3 6
Q 2 4

输出样例：

1
2
4

分析：今天的开头顺了。虽然花了挺久的时间，但是通过不断地调整后，终于过了样例，然后就一发了。 没wa 超开心。
题目要求的目的：区间操作，区间查询。

做这个题一定要知道一个定理：九章算术之更相减损术
gcd(x,y)=gcd(x,y-x)。
当然，此结论可用数学归纳法推广到一般，该性质对多个整数都成立。
即：gcd(x,y,z,…)=gcd(x,y-x,z-y,…)。

我们观察上述式子，可发现对于一个gcd(x,y-x,z-y,…)，把第一项不看。剩下的几项就是一个差分数列。那么我们可得：gcd(x,y-x,z-y,…)　＝gcb(x,gcb(y-x,z-y……) )。
也就是说，我们通过线段树来维护差分序列的gcb值。然后在把此gcb值和x进行求公差运算。
又因为x也是会变化的。所以x的值我们肯定是需要维护的。在看题目的操作
C l r d 是把l - r 这个区间都加上d（区间操作）。到此，我们发现这个维护x的值就很简单了（用树状数组维护），不懂可参考。

所以，我们目前还未解决的问题就是如何维护gcb(y-x,z-y……)。在这里采用的是线段树维护。具体见代码。

注意点：
１，在不断的对区间操作的过程中，差分数列的值是可能变成负数的。这个时候我们求gcb的函数，需要稍作改变，切记不可直接把负数变成正数。
因为直接把叶子取反会对今后的加减操作造成影响。
虽然gcd(a,b)=gcd(a,−b)但是(a+1,b)和(a+1,−b)不一定相等。
2，数据范围爆int。

#include"stdio.h"
#include"string.h"
#include"math.h"
#include"algorithm"
using namespace std;
typedef long long ll;
#define Max (ll)1e5 + 23

typedef struct Node
{
    ll  val,gcb;
    ll l,r;
}Node;

ll C[Max],N,M,a[Max],b[Max],G;
Node node[4 * Max];

ll Gcb(ll x,ll y)
{
    if(x < 0) x = -x; if(y < 0) y = -y;/// 把负数先变成正数
    if(x < y) swap(x,y);
    if(y == 0) return x;
    return Gcb(y,x % y);
}

void Build_Tree(ll id,ll l,ll r)
{
    node[id].l = l; node[id].r = r;
    if(l == r)
    {
        node[id].gcb = b[l]; return ;
    }
    ll mid = (l + r) >> 1;
    Build_Tree(id << 1,l,mid);
    Build_Tree(id << 1 | 1,mid + 1,r);
    node[id].gcb = Gcb(node[id << 1].gcb,node[id << 1 | 1].gcb);
}

void Update(ll id,ll l,ll r,ll x,ll v)
{
    if(x > N) return ;
    if(l == r)
    {
        node[id].gcb += v; return ;
    }
    ll mid = (l + r) >> 1;
    if(x <= mid) Update(id << 1,l,mid,x,v);
    else Update(id << 1 | 1,mid + 1,r,x,v);
    node[id].gcb = Gcb(node[id << 1].gcb,node[id << 1 | 1].gcb);
}

ll Query(ll id,ll l,ll r)
{
    ll Left = node[id].l,Right = node[id].r;
    ll A = 0,B = 0;
    if(l <= Left && r >= Right) return abs(node[id].gcb);
    ll mid = (Left + Right) >> 1;
    if(l <= mid) A = Query(id << 1,l,r);
    if(r > mid) B = Query(id << 1 | 1,l,r);
    return G = abs(Gcb(A,B));
}
///下面三个函数是对树状数组的维护
ll lowbit(ll x)
{  return x & (-x); }

void add(ll x,ll v)
{
    while(x <= N) {C[x] += v; x += lowbit(x);  }
}

ll query(ll x)
{
    ll sum = 0; while(x >= 1) {sum += C[x]; x -= lowbit(x); }
    return sum;
}

void init()
{
    scanf("%lld%lld",&N,&M);
    for(int i = 0;i <= N; i ++) C[i] = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i ++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        b[i] = a[i] - a[i - 1];
    }
    Build_Tree((ll)1,(ll)1,N);
}
int main()
{
    init();
    while(M --)
    {
        char str[10];
        scanf("%s",str);
        if(str[0] == 'Q')
        {
            ll l,r;
            scanf("%lld%lld",&l,&r);
            ll sum = Gcb(query(l) + a[l],Query((ll)1,l + 1,r));
            printf("%lld\n",sum);
        }
        else
        {
            ll l,r,d;
            scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&d);
            add(l,d); add(r + 1,-d);
            Update((ll)1,1LL,N,l,d); Update(1LL,1LL,N,r + 1,-d);
        }
    }
}

标签：node,gcb,return,gcd,树状,ll,最大公约数,246,id
来源： https://blog.csdn.net/qq_43506138/article/details/98941575