目录

• 分治
• 概念
• 简单题
• 经典例题
• 旅行者
• 连续区间
• Xor最小生成树
• 区间统计
• 二分
• 概念
• 简单题
• 整体二分
• CDQ分治
• 原理
• 经典例题
• 缺1背包问题
• 缺点最短路问题
• 点分治
• 图论
• 基础术语
• BFS
• Dijkstra
• 原理
• 扩展
• Bellman-Ford
• SPFA
• 原理
• 如何卡SPFA
• 判断是否存在负环
• Floyd
• 差分约束
• 本质
• 应用
• 次短路
• 例题
• 数环
• 最小生成树
• 经典问题
• 例题
• Prufer序列
• 例题
• 二分图
• 概念
• 字符串
• KMP模式匹配
• 例题

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分治

概念

分治，即分而治之，通过将问题分为两个区间，来将问题分成两个子问题。

简单题

1、求所有区间的最大值之和。
2、求所有区间的最大值与最小值之积的累加和。
3、求所有区间的 $\mathscr{Gcd}$Gcd 之和。
4、求二维平面上的最近点对。
5、分治多项式乘法。

经典例题

旅行者

给定一张 $N*M$N∗M 的带正权网格图，有 $Q$Q 组询问，每次询问两对点之间的最短路。( 其中 $1\leqslant N*M,Q\leqslant 50000$1⩽N∗M,Q⩽50000 )

连续区间

给定一个排列 $p[1\sim N]$p[1∼N] ，求有几个区间 $[L,R]$[L,R] 满足 $p[L\sim R]$p[L∼R] 排序后是连续的。( 其中 $N&lt;=500000$N<=500000 )

这其实是51Nod上的原题，不多说了，直接看官方题解，很详细。

Xor最小生成树

区间统计

二分

概念

二分，其实就是对答案的一种分治。

简单题

1、分数规划问题
2、给定 $N$N 个点 $x[1\sim n]$x[1∼n] ，要求将它划分成尽量少的连续区间，使得每个区间的最小圆覆盖半径 $r\leqslant S$r⩽S。
3、给一个序列 $a[1\sim n]$a[1∼n] ，要求选出恰好 $K$K 个不相交的区间，使得权值之和最大。

整体二分

1、有 $N$N 个位置， $M$M 个操作，每次操作是 $1\ \ \ a\ b\ c$1   a b c ，或者 $2\ \ \ a\ b\ k$2   a b k 。（浙江省选——K大数查询）

CDQ分治

原理

把 $[{L,R}]$[L,R] 分成 $[{L,Mid}]$[L,Mid] 和 $[{Mid+1,R}]$[Mid+1,R] ，考虑左边对右边的贡献。

经典例题

1、三维偏序。
2、矩阵加、矩阵求和。

缺1背包问题

给定 $N$N 个物品的重量 $W[i]$W[i] 和价值 $V[i]$V[i] ， $Q$Q 次询问，每次询问对除了第 $i$i 个物品以外的物品 $01$01 背包后重量不超过 $S$S 的最大价值。( 其中$N,W,V\leqslant 2000$N,W,V⩽2000， $Q\leqslant 1000000$Q⩽1000000 )

缺点最短路问题

给定 $N$N 个点的带权无向图， $Q$Q 次询问，每次询问 $X$X 到 $Y$Y 的不经过 $Z$Z 的最短路长度。( 其中 $N\leqslant 200，Q\leqslant 1000000$N⩽200，Q⩽1000000 )
3、解析递推式：$f[n]=\sum_i f[i]*g[n-i]$f[n]=∑i​f[i]∗g[n−i] 。

点分治

图论

基础术语

出度、入度、度数、无向图、有向图、欧拉回路、哈密尔顿回路、环、简单环、连通块、强连通块、点双连通分量，边双连通分量、深搜、广搜。

BFS

1、给定一张有向图，每条边的长度为 $1$1 ，求 $1$1 号点到其他点的最短路长度。
2、给定一张有向图，每条边的长度为 $0$0 或 $1$1 ，求 $1$1 号点到其他点的最短路长度。
3、给定一张有向图，每条边的长度为 $1$1 或 $2$2 ，求 $1$1 号点到其他点的最短路长度。

Dijkstra

原理

基于贪心思想并且证明过是正确的，即当前 $d[x]$d[x] 最小的 $x$x 一定已经确定了最短路。

扩展

当 $d[x]$d[x] 的大小在 $10^7$107 内怎么做。

Bellman-Ford

1、缺点：不能适用于有负权环的图

SPFA

原理

用一个队列维护有哪些点等待更新，
每次取出一个点 $x$x 去更新所有出边 $(x,y,w)$(x,y,w) ，如果 $y$y 被更新了就压入队列。
时间复杂度:$\Theta(NM)$Θ(NM)

如何卡SPFA

判断是否存在负环

Floyd

给定一张 $N$N 个点 $M$M 条边的正权有向图，求每两个点之间的最短路。
$\begin{aligned} &amp;我们设F[K,X,Y]表示X到Y的路径中\\ &amp;满足路径上的点的标号都不超过K的最短路径\\ &amp;\Rightarrow F[K,X,Y]=min(F[K-1,X,Y],F[K-1,X,K]+F[K-1,K,Y])\\ &amp;时间复杂度：\Theta(N^3) \end{aligned}$​我们设F[K,X,Y]表示X到Y的路径中满足路径上的点的标号都不超过K的最短路径⇒F[K,X,Y]=min(F[K−1,X,Y],F[K−1,X,K]+F[K−1,K,Y])时间复杂度：Θ(N3)​当然了， $K$K 这一维其实是可以省去的，这里就不再多说了。

差分约束

本质

最短路问题约束：
对于 $(x,y,w),d[y]\leqslant d[x]+w$(x,y,w),d[y]⩽d[x]+w，最短路问题可以给出这一类不等式的最大解。

应用

给定 $N,M$N,M 和 $M$M 个三元组 $(L,R,K)$(L,R,K) ，求一个 $0/1$0/1 串 $S$S ，使得 $S[L\sim R]$S[L∼R] 中 $1$1 的个数至少有 $K$K 个，求 $1$1 最少的满足条件的 $0/1$0/1 串。( 其中 $N,M\leqslant 10000$N,M⩽10000 )

次短路

如何求出 $1$1 号点到 $N$N 号点的次短路？
我们定义：若 $d[v]=d[u]+w(u,v)$d[v]=d[u]+w(u,v) ，则称 $(u,v)$(u,v) 是最短图上的边。
一条次短路一定至多经过一条非最短路图上的边。

例题

给定一张有向带正权拓扑图，求有几条 $1$1 到 $N$N 的路径的长度 $\mathfrak{Len}\leqslant 1$Len⩽1 到 $N$N 的最短路 $+K$+K 。( 其中 $N,M\leqslant 10^5,K\leqslant 100,边权\leqslant 10^9$N,M⩽105,K⩽100,边权⩽109 )

数环

1、给定一张 $N$N 个点 $M$M 条边的无向图，求三元环的个数。( 其中 $N,M\leqslant 50000$N,M⩽50000 )
2、给定一张 $N$N 个点 $M$M 条边的无向图，求四元环的个数。( 其中 $N,M\leqslant 50000$N,M⩽50000 )

最小生成树

经典问题

给定一张 $N$N 个点的带权无向图，求权值和最小的生成树。
$\mathfrak{Kruskal}算法$Kruskal算法：将边按权值大小从小到大排序，之后能加就加，用并查集维护。

例题

你现在很想知道⼀个数列 $A[1\sim N]$A[1∼N] 是什么，但是需要花费代价去获取情报，你可以花费 $Cost[L][R]$Cost[L][R] 的值去得到 $A[L\sim R]$A[L∼R] 的和，给定 $Cost$Cost ，求最少花费多少代价才能确定 $A[1\sim N]$A[1∼N]。( 其中 $N\leqslant 1000，Cost[L][R]\leqslant 10^9$N⩽1000，Cost[L][R]⩽109 )

Prufer序列

例题

给定每个点的度数 $d[i]$d[i] ，求出有几颗这样的无根树。

二分图

概念

可以分成两部分，使得这两部分内部没有边的图。
一个图是二分图$\Leftrightarrow$⇔该图没有奇环
如何判断？
1、判断一张图是否有奇环
2、判断一张图是否有偶环

字符串

KMP模式匹配

$Fail[N]$Fail[N] 表示字符串 $s[1\sim N]$s[1∼N] 最长的相等的前后缀。
$\mathfrak{For\ example}$For example， $\begin{aligned} &amp;bobocow\\ &amp;Fail=[0,0,1,2,0,0,0] \end{aligned}$​bobocowFail=[0,0,1,2,0,0,0]​求一个串的最小循环节。解析

例题

1、NOI2014 动物园

标签：NNN,7.29,短路,给定,正睿,111,例题,集训,leqslant
来源： https://blog.csdn.net/weixin_44341982/article/details/97624030