洛谷P1072 Hankson的趣味题

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题目

题目描述

原题
Hanks博士是 BT(Bio-Tech，生物技术)领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数$c_1$c1​和$c_2$c2​的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数$a_0,a_1,b_0,b_1$a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数$x$x满足：
1.$x$x和 $a_0$a0​的最大公约数是$a_1$a1​​；
2.$x$x和$b_0$b0​的最小公倍数是$b_1$b1​。
Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数$x$x。但稍加思索之后，他发现这样的$x$x并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的$x$x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式

第一行为一个正整数$n$n，表示有$n$n组输入数据。接下来的$n$n行每行一组输入数据，为四个正整数 $a_0,a_1,b_0,b_1$a0​,a1​,b0​,b1​​，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证$a_0$a0​能被$a_1$a1​整除，$b_1$b1​能被$b_0$b0​​整除。

输出格式

共$n$n行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的$x$x，请输出$0$0；
若存在这样的$x$x，请输出满足条件的$x$x的个数；

输入输出样例

输入样例

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

输出样例

6
2

题解

因为$x$x是$b_1$b1​的约数，所以$x$x的质因子一定也是$b_1$b1​的质因子，所以我对于$b_1$b1​的每个质因子$p$p，我们可以计算$x$x中有多少个$p$p
假设$a_0,a_1,b_0,b_1,x$a0​,a1​,b0​,b1​,x中分别有$m_{a_0},m_{a_1},m_{b_0},m_{b_1},m_x$ma0​​,ma1​​,mb0​​,mb1​​,mx​个质因子$p$p
由于$gcd(a_0,x)=b_0$gcd(a0​,x)=b0​，所以有$3$3种情况：

1. 若$m_{a_0}>m_{b_0}$ma0​​>mb0​​，则$m_x=m_{b_0}$mx​=mb0​​
2. 若$m_{a_0}=m_{b_0}$ma0​​=mb0​​，则$m_x\geqslant m_{b_0}$mx​⩾mb0​​
3. 若$m_{a_0}&lt;m_{b_0}$ma0​​<mb0​​，则$m_x$mx​无解

同理，由于$lcm(a_1,x)=b_1$lcm(a1​,x)=b1​，所以有$3$3种情况：

1. 若$m_{a_1}&lt;m_{b_1}$ma1​​<mb1​​，则$m_x=m_{b_1}$mx​=mb1​​
2. 若$m_{a_1}=m_{b_1}$ma1​​=mb1​​，则$m_x\leqslant m_{b_1}$mx​⩽mb1​​
3. 若$m_{a_1}&gt;m_{b_1}$ma1​​>mb1​​，则$m_x$mx​无解

综合以上所有情况，我们可以得出共有$5$5种情况：

1. 若$m_{a_0}&gt;m_{b_0},m_{a_1}&lt;m_{b_1},m_{b_0}=m_{b_1}$ma0​​>mb0​​,ma1​​<mb1​​,mb0​​=mb1​​，则$m_x=m_{b_0}=m_{b_1}$mx​=mb0​​=mb1​​
2. 若$m_{a_0}&gt;m_{b_0},m_{a_1}=m_{b_1},m_{b_0}\leqslant m_{b_1}$ma0​​>mb0​​,ma1​​=mb1​​,mb0​​⩽mb1​​，则$m_x=m_{b_0}$mx​=mb0​​
3. 若$m_{a_0}=m_{b_0},m_{a_1}&lt;m_{b_1},m_{b_0}\leqslant m_{b_1}$ma0​​=mb0​​,ma1​​<mb1​​,mb0​​⩽mb1​​，则$m_x=m_{b_1}$mx​=mb1​​
4. 若$m_{a_0}=m_{b_0},m_{a_1}=m_{b_1},m_{b_0}\leqslant m_{b_1}$ma0​​=mb0​​,ma1​​=mb1​​,mb0​​⩽mb1​​，则$m_{b_0}\leqslant m_x\leqslant m_{b_1}$mb0​​⩽mx​⩽mb1​​
5. 若其他情况，则$m_x$mx​均无解

我们将$m_x$mx​的取法记为$sum_p$sump​，则$x$x的数量为$\prod\limits_{\text{质数}p|d}sum_p$质数p∣d∏​sump​
代码如下：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,a0,a1,b0,b1,ans;
int gcd(int a,int b)
{
  return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
long long lcm(int a,int b)
{
  return (long long)a*b/gcd(a,b);
}
int main()
{
  cin>>n;
  while(n--){
    ans=0;
    scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
    for(int i=1;i<=sqrt(b1);i++)
    if(b1%i==0){
  		if(gcd(i,a0)==a1&&lcm(i,b0)==b1) ans++;
      if(i*i!=b1) if(gcd(b1/i,a0)==a1&&lcm(b1/i,b0)==b1) ans++;;
    }
    printf("%d\n",ans);
  }
}

标签：ma1,ma0,洛谷,mb1,xxx,P1072,mb0,mx,Hankson
来源： https://blog.csdn.net/weixin_43849488/article/details/97900753