布朗运动与金融数学：百年征途
作者：互联网
作者： 郑连虎
来源：阿虎定量笔记
正文：
巴舍利耶：金融数学之父
——要点：布朗运动、有效市场假说
即使在信息爆炸的今天，想要了解法国数学家路易斯·巴舍利耶（Louis Bachelier，1870-1946）的生活，依然缺乏资料。同许多思想超前的开拓者一样，巴舍利耶的研究成果在当时未能引起学界重视，直至50多年后被保罗·萨缪尔森（Paul Anthony Samuelson，1915-2009）重新发现才受到推崇。走在时代前列的伟大天才，代表如格雷戈尔·孟德尔（Gregor Johann Mendel，1822-1884，遗传学的奠基人）、鲍耶·亚诺什（Bolyai János，1802-1860，又译“波尔约”，与罗巴切夫斯基同为非欧几何创始人），常常遭受同时代主流思想的不解甚至敌对，在有生之年无法得到广泛认可。而如巴勃罗·鲁伊斯·毕加索（Pablo Ruiz Picasso，1881-1973，与乔治·布拉克同为立体主义创始人）这般幸运，确是少有。
在巴舍利耶天才般的开创工作中，苏格兰生物学家罗伯特·布朗（Robert Brown，1773-1858）功不可没。1827年，布朗在花粉颗粒的水溶液中观察到花粉不停顿的无规则运动，遂用他自己的名字命名了微小粒子在液体中自由运动的现象：布朗运动（Brownian Motion）。但当时并没有给出布朗运动的数学刻画，要等到1905年阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）定义布朗粒子扩散方程（扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关），我们才逐渐清楚布朗运动的如下定义——布朗运动是满足这样条件的鞅，即这个鞅是关于时间连续的，且它的平方减去时间项也是一个鞅——当然，对于本文而言，这是另外的话题。这里所要强调的是，布朗运动体现出的随机游走思想，对研究不可预测的连续时间过程机制至关重要：而金融数学中布朗运动的数学刻画，则在后文详细展开。
图片：模拟大颗粒尘埃粒子碰撞到更小粒子，而其以不同的速度在不同方向移动的布朗运动来源：维基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion
布朗运动为巴舍利耶提供了思路和工具，终于在1900年的博士论文《投机理论（The Theory of Speculation）》中大放异彩。巴舍利耶的论文认为，影响股票价格涨跌的原因有许许多多，无法准确地用概率模型动态预测；但在市场的某一个静态时刻，可以建立数学模型来分析市场涨跌的概率大小，即用随机游动思想给出股票价格运行的随机模型。此后，基于布朗运动的对数正态随机游走理论逐渐成为金融市场的经典框架——资产价格具有很强的随机游走特征，无法通过任何手段准确预测；每个价格都是独立的个体，与历史上的价格似乎无任何关联；市场中已知的信息似乎对于预测股价无效——这也为尤金·法玛（Eugene Fama，1939-）于1970年提出有效市场假说（Efficient Markets Hypothesis，EMH）奠定了基础。
EMH对价格随机游走特征的解释是，在任一时点，资产的价格包含了有关该资产的所有信息。这意味着：信息量随时间严格递增，历史数据中没有任何未来信息，因此历史数据无法用来预测；当前的价格已经充分反映了当前的所有已知信息，而未来价格的变化依然无法预知；随机游走是未来信息不确定的体现。正基于此，有效市场理论的三种形式才广为人知：
1、强式有效市场——信息对所有投资者公开，不存在内幕信息；证券价格及时充分反映所有相关信息
2、半强式有效市场——存在内幕信息，证券价格及时充分反映所有公开信息；只有掌握内幕信息的投资者可以获得超额收益
3、弱式有效市场——存在内幕信息，证券价格充分反映所有历史信息，但不及时充分反映最新公开信息；掌握内幕信息或及时正确解读最新信息的投资者，可以获得超额收益
顺便八卦一下，巴舍利耶的导师正是亨利·庞加莱（Jules Henri Poincare，1854-1912），后者被称为“19世纪后期和20世纪初期的领袖数学家，继高斯之后对于数学及其应用具有全面知识的最后数学家”。
伊藤清：现代随机分析之父
——要点：维纳过程、伊藤引理、Black-Scholes公式、倒向随机微分方程理论
不得不惊叹布朗运动的巧妙介入：这使得刻画资产价格成为可能。紧要的问题是，金融数学必须找到这一随机游走的数学刻画。
布朗运动是这样的正态随机变量：期望为0、方差为t（时间）；它也应当是满足增量正态性、增量独立性的随机过程：即维纳过程（Wiener Process）。1923年，诺伯特·维纳（Norbert Wiener，1894-1964）为布朗运动建立了一套严格的数学体系，随即在纯数学领域（连续鞅、连续时间随机过程、扩散过程、位势论等方面）及应用数学领域（刻画白噪声高斯过程的积分，用于信号处理、控制理论等方面）都引起了重视。对金融数学而言，终于找到如下模型用以刻画布朗运动：
记一个维纳过程为Wt，则该过程须满足：
1.增量正态性——任取时间t，增量ΔW = Wt+Δt-Wt ~N(0, Δt)
2.增量独立性——任取时间t1≠ t2 ，增量ΔW1与ΔW2相互独立
图片：一维维纳过程的一个路径 来源：维基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process
有维纳过程帮忙，就可以尝试刻画资产价格的变动。
首先从最简单的情形——无风险资产价格开始：
1.设无风险资产，如债券，当前的价格为S0(0)，无风险利率为常数r，此时债券在未来任意时刻t>0的价格可以表示为：
再来考虑风险资产股票的价格：
1.设股票当前的价格为S0，期望收益率为常数η，即对未来任意时刻t>0有：
2.考虑股票风险：
3.依据式3，对股票价格作如下假设：
4.结合式4 整理得到：
5.即：
6.考察式5是否满足式3：
7.通过推导发现假设有偏差，说明在每一个时刻加入维纳过程的增量对于期望收益有一定的影响，对假设作如下调整：
8.整理得到：
9.可以验证式7满足式3对股票期望收益率为μ的要求。为方便计算，首先来看对数收益率。记对数收益率为ut，由式6 可知任意时间t有：
10.取t=1，即时间长度1 年，则年对数收益率的方差为σ^2，因此，可以用σ表示年对数收益率的标准差，即股票的“年波动率”。进一步整理对数收益率ut有：
式9给出了对数收益率满足的随机微分方程，那么股票价格St如何求得？这是需要引入伊藤引理（Ito's lemma）：1944年，日本数学家伊藤清（Ito Kiyoshi，1915-2008）对布朗运动引进随机积分，随后建立随机微分方程理论；1951年又引进伊藤公式，被誉为“华尔街最著名的数学家”：
1.首先定义伊藤过程，表达式形如：
2.其中a，b是(xt，t)的函数，Wt为维纳过程，则伊藤引理规定，任一(xt，t)的函数G = G(xt，t)仍然是伊藤过程，形式为：
3.其中Wt是同一个维纳过程；考虑伊藤过程，对于股票收益率表达式9，则有：
式12即要求的股票价格的几何布朗运动表达式。由此得出，股票S的期望收益率为常数μ，波动率为常数σ；正是在此基础上，美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black，1938-1995）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes，1941-）于1973年提出Black-Scholes期权定价公式；随后，罗伯特·莫顿（Robert C. Merton，1944-）发展出衍生证券定价理论，继哈里·马科维茨（Harry Markowitz，1927-）于1952年发表博士论文《资产选择（Portfolio Selection）》并提出资产组合理论后，掀起“华尔街第二次金融革命”，Scholes与Merton也荣获1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes公式对标的资产和衍生产品市场作如下假设：
1.标的资产的价格遵循几何布朗运动方程式12
2.衍生产品的交易允许卖空
3.忽略交易的费用，标的与衍生产品的交易手数都无限可分
4.在衍生产品的存续期内，标的资产无红利支付
5.不存在无风险套利机会
6.可交易的时间是连续的
7.对于不同到期日的衍生产品，无风险利率r都是相同的常数
进一步的推导出Black-Scholes偏微分方程：
1.设任意时刻t，标的资产St上的衍生品价格为f = f(St， t)，运用伊藤公式可得：
2.结合标的价格方程dS =μSdt+σSdW，发现只要合理配置两者头寸，可以消去随机项dW；因此可构造无风险组合Π，这个无风险组合价值为：
3.在极小的时间内，组合价值的变化可以表示为：
4.把式13、式14代入式15得：
5.此时Π和dΠ的表达式中已经消去了随机项dW和预期收益率μ，这也说明通过合理的配比，标的证券、期权、债券之间可以互相构造。在无套利原则及无风险利率为常数的情况下，无风险组合Π应满足式2：dΠ = rΠdt（式17），将式14式16代入式17整理即可得到的Black-Scholes偏微分方程.
6.可求得该偏微分方程的解，就是Black-Scholes欧式期权定价公式：
进一步，法国数学家巴赫杜（Étienne Pardoux，1947-）与我国数学家、中国科学院院士、山东大学教授彭实戈（1947-）发表论文Adapted Solution of a Backward Stochastic Differential Equation，提出倒向随机微分方程（Backward Stochastic Differential Equations，BSDE）理论，认为Black-Scholes公式是线性倒向方程在特定条件下的特例，期权在终端时刻的价值是给定的，对欧式看涨期权即：
其中组合（以股票+债券的组合来构造期权）的价值为Yt，给出期权价格的倒向随机微分方程表示。
对一百多年的金融数学发展史来说，本文介绍的内容远不能概括全部。在本文最后，给出金融数学更为完整的时间线，向这一伟大征途的领导者们致敬：
1827年，布朗，布朗运动现象
1900年，巴舍利耶，用随机游动思想给出股票价格运行的随机模型
1905年，爱因斯坦，布朗运动的数学刻画
1944年，伊藤清，对布朗运动引进随机积分
1951年，伊藤清，引进伊藤公式
1952年，马科维茨，资产组合理论
1958年，默顿·米勒与弗兰科·莫迪利安尼，“莫迪利安尼-米勒（MM）定理”，并首次提出“无套利假设（No-Arbitrage）”
1964年，威廉·夏普等，资本资产定价理论（Capital Asset Pricing Model，CAPM）
1970年，尤金·法玛，正式提出有效市场假说
1973年，布莱克与斯科尔斯， Black-Scholes期权定价公式
1973年，罗伯特·莫顿，衍生证券定价理论
1976年，斯蒂芬·罗斯，套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，APT）
1990年，巴赫杜与彭实戈，倒向随机微分方程理论
1997年，彭实戈，g-期望理论
1999年，P.Artzner，F.Delbaen，J.Eber与D.Heath，一致风险度量理论（Coherent Measures of Risk）
2005年，彭实戈，G-期望理论
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拓展阅读：
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