嵊州集训小结

以下是2019年7月11~17日，我在嵊州市嵊州中学机房里，东塔路惠余宾馆里的付出与收获。

 

0x00 搜索优化

（普通搜索：老师觉得太简单就没有讲，一句带过了。其实DFS，BFS也没有什么难度的啦！）

引入：

在模拟赛中，我们总是要用到搜索，而DFS和BFS各有各的优缺点，常常还没搜到，就会TLE/MLE。

而且，有些数据则会专门针对有些简单的算法出一些比较偏/深的数据，使我们得不到分。

所以，仅仅掌握普通搜索是不够的！

 

0x01双向宽搜

定义：宽度优先搜索（BFS）沿起点到终点，终点到起点的搜索

条件：1、操作可逆 2、已知目标状态

优点：省时间省空间

效率：普通BFS的2/(k^x/2+1)。（有x层的完全k叉树）

例题1：最少点路径（minpoint）

在一个无向图中求经过最少点的从S到T的路径。

solution1：用一个一位数组，[0]放S，[inf]放T。起点终点同时搜索。

例题2：分油问题

 

0x02 迭代加深（DFS-ID）

定义：从小到大限制搜索的深度，如果在当前深度限制下搜不到答案，就把深度限制增加，重新进行一次搜索。

优点：继承了DFS比BFS省空间的特点，也没有需要很大的空间。

条件：1、搜索树规模随层次增长很快 2、能确保答案在一个较浅的节点

效率：虽然当搜索限制d层时，我们要先再搜索第1~d-1层的节点，但当树节点的分支节点数目较多时，每层的节点数会呈指数级增长。这与普通DFS搜索的深层子树规模相比，也是微不足道了。

例题1：小猫爬山 cat

有N只猫要乘坐一次一元，最大承载量为W的缆车。已知每只猫的数量，求最少花多少钱

solution1：1、从大到小排列 2、肥猫先上车，瘦猫后上车 3、穷举（二分也可以，且当N大时，二分更快）

 

0x02.5 计算完全k叉树的节点个数

设此树是有d层的完全k叉树

则节点个数为：

1+k+k^2+k^3+k^4+……+k^d=(k^(d+1)-1)/(k-1)

即：

1+k+k²+k³+k⁴+……+k^d=(k^d+1-1)/(k-1)

(等比数列求和公式）

 

0x03 记忆化搜索

目的：避免重复搜索同一个节点

结构：DFS递归

思想：相当于DP，但当拓扑关系复杂时，DP不可用

模型：

例题1：巧克力 chocolate

有个矩形cho，n行m列，n*m个大小相同的小块……

 

练习1：功能运行乐趣

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1579

 

0x04 状态表示和状态压缩（及HASH表）

定义：把当前的状态特殊处理，使状态表示更简单

优点：能充分的反应关系，以及省空间

应用1：八皇后问题

solution1：位运算压缩

使用递归&三个参数row，ld，rd 分别代表竖线，左下斜对角线，右下斜对角线，表示纵列和双对角线方向限制

以6*6为例

 

如图，此时

depth=4

row=101010（14）

ld=100100（36）

rd=000111（7）

那么

这一行的状态就是：

now = row | ld | rd

边界检测：

如果now = 1 << 6-1 //1000000-1=111111

return 0;

递归调用：

将row不变，ld左移一位，rd右移一位

即：work(row,ld << 1,rd >> 1);

完成情况：

depth==n+1

此时，输出。

 

应用2：八数码问题

压缩成一个九位数

（双向宽搜）

 

0x04 搜索剪枝

相当于排除死胡同

原则：A.正确性 B.准确性 C.高效性

0x04.1 可行性剪枝

“从当前状态可得解吗？”

例题1：门票 tecket

用c个字母（都已知），组成长度为L的字符串。

3<=L<=15 至少一个元音字母，两个辅音字母。按字母序输出。

solution：剪枝

1、对a[c]排序

2、预处理：用b[i]表示a中[i]后还有几个元音

3、递归深搜：dfs(int x,int y,int n1,int n2,string s)

//搜到第x个字符，已经生成了y长度的字符串

//至少还要n1个元音，n2个辅音，生成的字符串为s

if(len+1==y) {cout<<s;计数器+1；}

else{if(a[i]是元音} dfs(x+1,y+1,n1-1,n2,s+a[x]);

　　else dfs(x+1,y+1,n1,n2-1;s+a[x]);

剪枝：

1、接下来字母全用也不够

总数-x<len-(y-1)

2、接下来无元音，且之前没有用元音

len-y<n1&&b[x+1]<n1

3、接下来辅音全用长度也不够

自己试着写一下吧~

应用2：Betsy的旅行

 

一个N²的小镇被分成N*N个格子

Betsy从左上走到左下，每个格子恰好经过一次。

给定N（N<=7），有多少种？

solution2：剪枝

不能单纯的扫描全局（那样是O（N²））

分析发现

Betsy移动只影响其周边格子

1、不能形成空格子（四边全封闭）

可以检测现在的位置的上下左右格来实现

2、留给你自己想啦~

剪枝就是要开动脑筋嘛！

 

0x04.2 最优化剪枝

方法：保存一个“当前最优解”——解的优度下限（用估价函数h()）

例题1：快速加 quicksum

比如：12 & 3

0次：12

1次：1+2=3 √

再比如：303 & 6

0次：303

1次：3+03=6 √ 或30+3=33

2次：3+0+3=6 × （非最优解）

（这也说明可以有前导0）

solution1：

算法1：DP模型（石子合并）

暂时先不考虑

算法2：S+TBJ

用g[i][j]表示si->sj的值

dfs(i,last,p,sum);

边界：得到答案

if(i==len)//形成了结果

{

　　sum+=g[last][len];

　　if(sum==n) 

　　　　if(p<ans) ans=p;

}

剪枝：

1、当前sum+剩下不加加号组成的数小于n

2、当前sun>n

3、已加加号数p大于最优解ans

 

例题2：特别的数列 seq

数列A₁,A₂,A_n.

（2019-07-17 22:43:20)

标签：剪枝,嵊州,DFS,节点,搜索,例题,小结,集训,row
来源： https://www.cnblogs.com/send-off-a-friend/p/11203796.html