LUOGU 4360 [CEOI2004]锯木厂选址 斜率优化DP

title

LUOGU 4360
题目描述

从山顶上到山底下沿着一条直线种植了$n$n棵老树。当地的政府决定把他们砍下来。为了不浪费任何一棵木材，树被砍倒后要运送到锯木厂。
木材只能朝山下运。山脚下有一个锯木厂。另外两个锯木厂将新修建在山路上。你必须决定在哪里修建这两个锯木厂，使得运输的费用总和最小。假定运输每公斤木材每米需要一分钱。
你的任务是编写一个程序，从输入文件中读入树的个数和他们的重量与位置，计算最小运输费用。

输入输出格式
输入格式：

输入的第一行为一个正整数$n$n——树的个数$(2≤n≤20000)$(2≤n≤20000)。树从山顶到山脚按照$1,2,...,n$1,2,...,n标号。
接下来n行，每行有两个正整数（用空格分开）。
第$i+1$i+1行含有：$w_i$wi​ ——第$i$i棵树的重量（公斤为单位）和$d_i$di​——第$i$i棵树和第$i+1$i+1棵树之间的距离，$1≤w_i≤10000,0≤d_i≤10000$1≤wi​≤10000,0≤di​≤10000。
最后一颗树的$d_n$dn​，表示第$n$n棵树到山脚的锯木厂的距离。保证所有树运到山脚的锯木厂所需要的费用小于$2×10^9$2×109分。

输出格式：

输出最小的运输费用。

输入输出样例
输入样例#1：

9
1 2
2 1
3 3
1 1
3 2
1 6
2 1
1 2
1 1

输出样例#1：

26

说明

样例图示
黑点为锯木厂

本题共有1313个测试点，每个测试点的数据范围如下
测试点$1-5:n≤200$1−5:n≤200；
测试点$6-7:n≤1000$6−7:n≤1000；
测试点$7-13:n≤20000$7−13:n≤20000；

analysis

大佬们说这道题是斜率优化入门题，所以蒟蒻来试试，没想到一试就是一下午，o(╥﹏╥)o。

好了，说下想法，看到这题，其实很直接就想到设$f[i]$f[i]表示把锯木厂建在第$i$i棵树的位置的最小费用。

然后就是朴素的状态转移方程了：
$f[i]=sum−d[j]∗s[j]−d[i]∗(s[i]−s[j])(j&lt;i)$f[i]=sum−d[j]∗s[j]−d[i]∗(s[i]−s[j])(j<i)

$sum$sum表示所有树一开始全部运送的山脚下的花费，$d[i]$d[i]表示距离的后缀和(因为我们是从上运到下面)，$s[i]$s[i]表示树的重量的前缀和。那么在$i,j$i,j处修了工厂后花费就变成了总花费$sum$sum减去从$j$j厂运到山脚的额外花费$d[j]*s[j]$d[j]∗s[j]，再减去从$i$i厂运到山脚下的额外花费$d[i]*(s[i]-s[j])$d[i]∗(s[i]−s[j])。

形象的说，就是你先把$j$j前面的木材运到jj厂，然后减去这些木材运到山脚的花费，再把$i,j$i,j之间的木材运到$i$i厂，再减去它们到山脚的花费。

然后我们将$DP$DP方程式变形,令$j,k(j&lt;k)$j,k(j<k)这两种决策转移到$i$i的时候，$k$k决策更优秀，
那么就可以得到$sum-d[k]*s[k]-d[i]*(s[i]-s[k])&lt;sum-d[j]*s[j]-d[i]*(s[i]-s[j])$sum−d[k]∗s[k]−d[i]∗(s[i]−s[k])<sum−d[j]∗s[j]−d[i]∗(s[i]−s[j])

整理后可以得出：$d[j]*s[j]-d[k]*s[k]&lt;d[i]*(s[j]-s[k])$d[j]∗s[j]−d[k]∗s[k]<d[i]∗(s[j]−s[k])

然后因为斜率$d[i]$d[i]是随着$i$i的增加而变小的，所以我们根据斜率维护一个上凸壳，因为是单调的，所以用一个队列就可以了。

然后根据我调了一下午，最终不得不求助于神犇晗神才A掉此题的前史之鉴，告诉大家，式子一定要自己推，不要看了一遍，觉得会，就直接开始写代码，要把式子写在纸上，会帮很大忙！

code

不得不开$long~long$long long版

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e4+10;

char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1, ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}

template<typename T>inline void write(T &x)
{
    if (!x) { putchar('0'),putchar('\n'); return ; }
    if (x<0) putchar('-'),x=-x;
    T num=0,ch[20];
    while (x) ch[++num]=x%10+48,x/=10;
    while (num) putchar(ch[num--]);
    putchar('\n');
}

int w[maxn],d[maxn],s[maxn],q[maxn],f[maxn];
inline ll getUp(int j,int k)
{
    return d[j]*s[j]-d[k]*s[k];
}

inline ll getDw(int j,int k)
{
    return s[j]-s[k];
}

int main()
{
    int n,sum=0;read(n);
    for (int i=1; i<=n; ++i) read(w[i]),read(d[i]);
    for (int i=n; i>=1; --i) d[i]+=d[i+1];
    for (int i=1; i<=n; ++i) s[i]=s[i-1]+w[i],sum+=d[i]*w[i];

    int l=1,r=1;
    q[1]=0;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        while (l<r && getUp(q[l],q[l+1])<(ll)d[i]*getDw(q[l],q[l+1])) ++l;
        f[i]=sum-d[q[l]]*s[q[l]]-d[i]*(s[i]-s[q[l]]);
        while (l<r && getUp(q[r-1],q[r])*getDw(q[r],i)<getUp(q[r],i)*getDw(q[r-1],q[r])) --r;
        q[++r]=i;
    }

    int ans=0x7fffffff;
    for (int i=1; i<=n; ++i) ans=min(ans,f[i]);
    write(ans);
    return 0;
}

函数$double$double版

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e4+10;

char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1, ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}

template<typename T>inline void write(T &x)
{
    if (!x) { putchar('0'),putchar('\n'); return ; }
    if (x<0) putchar('-'),x=-x;
    T num=0,ch[20];
    while (x) ch[++num]=x%10+48,x/=10;
    while (num) putchar(ch[num--]);
    putchar('\n');
}

int w[maxn],d[maxn],s[maxn],q[maxn*5],f[maxn];
inline double slope(int j,int k)
{
    return 1.0*(d[j]*s[j]-d[k]*s[k])/(s[j]-s[k]);
}

int main()
{
    int n,sum=0;read(n);
    for (int i=1; i<=n; ++i) read(w[i]),read(d[i]);
    for (int i=n; i>=1; --i) d[i]+=d[i+1];
    for (int i=1; i<=n; ++i) s[i]=s[i-1]+w[i],sum+=d[i]*w[i];

    int l=1,r=1;
    q[1]=0;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        while (l<r && slope(q[l],q[l+1])>d[i]) ++l;
        f[i]=sum-d[q[l]]*s[q[l]]-d[i]*(s[i]-s[q[l]]);
        while (l<r && slope(q[r-1],q[r])<slope(q[r],i)) --r;
        q[++r]=i;
    }

    int ans=0x7fffffff;
    for (int i=1; i<=n; ++i) ans=min(ans,f[i]);
    write(ans);
    return 0;
}

标签：ch,4360,LUOGU,sum,锯木厂,lt,iii,getchar
来源： https://blog.csdn.net/huashuimu2003/article/details/90270896