题解 洛谷 P1641 【[SCOI2010]生成字符串】
作者:互联网
\(P1641 [SCOI2010]\)生成字符串
前置知识
组合数、坐标轴。
题目描述
以\(n\)个\(1\)和\(m\)个\(0\)组成字符串,求出满足条件「在任意的前\(k\)个字符中,\(1\)的个数不能少于\(0\)的个数」的字符串数量。
解题思路
考虑到题目要求的条件「\(1\)的个数不少于\(0\)的个数」可以转化为坐标轴内点的横纵坐标。
举例说明:
第一步:建系。将\(x\)轴设为\(m + n\),y轴设为\(m - n\),方案数则可以表示为从点\((0,0)\)移动到点\((n + m,n - m)\)的折线,每增加一个\(1\)或\(0\)代表当前点向\(x\)轴正半轴移动一单位长度,选择\(1\)代表向y轴正半轴移动一单位长度,选择\(0\)代表向\(y\)轴负半轴移动一单位长度。易得方案总数即为\(C(n+m,n)\)。
因为\(1\)的个数始终不少于\(0\)的个数,所以折线需保持在第一象限。
第二步:排除不合法情况:\(1\)的个数少于\(0\)的个数,即折线在第四象限。
我们考虑将在到达\(y = -1\)以前的部分全部沿\(y = -1\)的直线作对称,如下图所示。
折线的新起点变为\((0,-2)\),总次数还是\(n + m\),但上升次数比下降次数多一次,方案数为\(C(n+m,m-1)\)。
第三步:综合前两步的推导,得出式子:\(Ans = C(n + m,n) - C(n + m,m - 1)\)。
注意事项
\(1\).注意取模。
\(2\).数据范围过大,先预处理逆元,再套用公式求出组合数。
参考程序
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define MAXN 1000005
#define MAXM 1000005
#define MOD 20100403
#define rep(i,a,b) for(re int i = a;i <= b;i ++)
#define drep(i,a,b) for(re int i = a;i >= b;i --)
#define Rep(i,a,b) for(re int i = a;i < b;i ++)
#define Drep(i,a,b) for(re int i = a;i > b;i --)
#define fin(a) freopen(#a".in","r",stdin)
#define fout(a) freopen(#a".out","w",stdout)
using namespace std;
il ll read(){
ll x = 0;
char ch = 0;
while(!isdigit(ch)){
ch = getchar();
}
while(isdigit(ch)){
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return x;
}
il void write(ll x){
if(x > 9){
write(x / 10);
}
putchar(x % 10 + '0');
}
il ll Pow(ll a,ll b){
ll ans = 1;
while(b){
if(b & 1)
ans = ans * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return ans % MOD;
}
il ll C(ll n,ll m){
if(m > n)
return 0;
if(m > n - m)
m = n - m;
ll s1 = 1,s2 = 1;
Rep(i,0,m){
s1 = s1 * (n - i) % MOD;
s2 = s2 * (i + 1) % MOD;
}
return s1 * Pow(s2,MOD - 2) % MOD;
}
il ll Lucas(int n,int m){
if(!m)
return 1;
return C(n % MOD,m % MOD) * Lucas(n / MOD,m / MOD) % MOD;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
fin(1641);
fout(1641);
#endif
int n = read(),m = read();
write((Lucas(n + m,n) % MOD - Lucas(n + m,m - 1) % MOD + MOD) % MOD);
return 0;
}
标签:洛谷,int,题解,ll,个数,P1641,return,MOD,define 来源: https://www.cnblogs.com/StudyingVeyron-MUST/p/16675895.html