【模板】图论
作者：互联网
最小环
Floyd 求最小环+输路径
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int a[105][105],d[105][105],pa[105][105],ans[105];
int mi=1e9,co;
void get_pa(int x,int y){
if(!pa[x][y]) return;
get_pa(x,pa[x][y]);
ans[++co]=pa[x][y];
get_pa(pa[x][y],y);
}
signed main(){
int n,m;cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j) a[i][j]=d[i][j]=1e9;
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
a[x][y]=a[y][x]=d[x][y]=d[y][x]=min(z,d[x][y]);
}
for(int k=1;k<=n;++k){
for(int i=1;i<k;++i)
for(int j=i+1;j<k;++j)
if(d[i][j]+a[i][k]+a[k][j]<mi){
mi=d[i][j]+a[i][k]+a[k][j];
co=0;
get_pa(i,j),ans[++co]=j,ans[++co]=k,ans[++co]=i;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]){
d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
pa[i][j]=k;
}
}
if(mi==1e9) cout<<"No solution.";
else for(int i=1;i<=co;++i) cout<<ans[i]<<" ";
return 0;
}
LCA
倍增求LCA
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const int N=5e5+5;
int fa[N][30],d[N];
int s=1;
vector<int> ed[N];
void bfs(){
queue<int> q;
q.push(s);d[0]=-1e9;
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<(int)ed[x].size();++i){
int y=ed[x][i];
if(y==s || d[y]) continue;
d[y]=d[x]+1;q.push(y);
fa[y][0]=x;
for(int j=1;j<=20;++j)
fa[y][j]=fa[fa[y][j-1]][j-1];
}
}
}
int lca(int x,int y){
if(d[y]>d[x]) swap(x,y);
for(int i=20;i>=0;--i)
if(d[fa[x][i]]>=d[y]) x=fa[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=20;i>=0;--i)
if(fa[x][i]!=fa[y][i])
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
return fa[x][0];
}
Tarjan
桥
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//桥一定要去重边！！！
const int N=2e3+5,M=2e6+5;
int dfn[N],low[N],cnt;
int h[N],nxt[M],ver[M],st[M],co;
bool a[N][N];
int n,m;
set<pair<int,int> > s;
void add(int x,int y){
nxt[++co]=h[x],h[x]=co,ver[co]=y,st[co]=x;
}
int tarjan(int x,int fa){
dfn[x]=++cnt,low[x]=cnt;
for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(y==fa) continue;
if(dfn[y]) low[x]=min(low[x],low[y]);
else low[x]=min(low[x],tarjan(y,x));
if(low[y]>dfn[x]) s.insert(make_pair(min(st[i],ver[i]),max(st[i],ver[i])));
}
return low[x];
}
int main(){
int n,m;cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y;cin>>x>>y;
if(a[x][y]) continue;
add(x,y),add(y,x),a[x][y]=a[y][x]=1;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!dfn[i]) tarjan(i,0);
cout<<s.size()<<endl;
for(auto it:s)
cout<<it.first<<" "<<it.second<<endl;
return 0;
}
割点
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//割点不用去重边！！！
const int N=2e4+5,M=1e5+5;
vector<int> ed[N];
int dfn[N],low[N],cnt;
set<int> s;
int tarjan(int x,int fa){
low[x]=dfn[x]=++cnt;
int co=0;
for(int i=0;i<ed[x].size();++i){
int y=ed[x][i];
if(y==fa) continue;
if(!dfn[y]){
low[x]=min(low[x],tarjan(y,x)),++co;
if(fa && low[y]>=dfn[x]) s.insert(x);
}
else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
if(!fa && co>1) s.insert(x);
return low[x];
}
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y;cin>>x>>y;
ed[x].push_back(y);
ed[y].push_back(x);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!dfn[i]) tarjan(i,0);
cout<<s.size()<<endl;
for(auto it:s) cout<<it<<" ";
return 0;
}
缩点、Tarjan 求强联通分量
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//Luogu P3387 【模板】缩点
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=1e5+5;
vector<int> ed[N],e[N];
int dfn[N],low[N],st[N],top,cnt;
bool vi[N];
int a[N],ans;
int w[N],co,d[N],f[N],dp[N];
int n,m;
struct edge{
int x,y;
}edg[M];
int tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++cnt;
st[++top]=x;
vi[x]=1;
for(int i=0;i<ed[x].size();++i){
if(vi[ed[x][i]]) low[x]=min(low[x],low[ed[x][i]]);
if(!dfn[ed[x][i]]) low[x]=min(low[x],tarjan(ed[x][i]));
}
if(dfn[x]==low[x]){
int sum=a[x];
while(top && st[top]!=x)
f[st[top]]=x,sum+=a[st[top]],vi[st[top]]=0,--top;
--top,vi[x]=0,f[x]=x;
w[x]=sum;
}
return low[x];
}
void topo(){
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(f[i]==i && !d[i]) q.push(i),dp[i]=w[i];
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
ans=max(ans,dp[x]);
for(int i=0;i<e[x].size();++i){
int y=e[x][i];
dp[y]=max(dp[y],dp[x]+w[y]);
d[y]--;
if(!d[y]) q.push(y);
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=m;++i){
cin>>edg[i].x>>edg[i].y;
ed[edg[i].x].push_back(edg[i].y);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(int i=1;i<=m;++i)
if(f[edg[i].x]!=f[edg[i].y]){
d[f[edg[i].y]]++;
e[f[edg[i].x]].push_back(f[edg[i].y]);
}
topo();
cout<<ans;
return 0;
}
基环树
拓扑排序找环（无向图）
模板
void topo(int x){
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(d[i]==1) q.push(cal[x][i]);
while(q.size()){
int y=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<ed[y].size();++i){
int z=ed[y][i];
if(d[z]<=1) continue;
--d[z];
if(d[z]==1) q.push(z);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
if(d[i]>1) ++cnt;
}
二分图
二分图最大匹配（匈牙利算法）
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505,M=5e4+5;
int h[N],nxt[M],en[M],co;
bool v[N];
int match[N];
void add(int a,int b){
nxt[++co]=h[a],en[co]=b,h[a]=co;
}
bool dfs(int x){
for(int i=h[x];i;i=nxt[i])
if(!v[en[i]]){
v[en[i]]=1;
if(!match[en[i]] || dfs(match[en[i]])){
match[en[i]]=x;
return 1;
}
}
return 0;
}
int main(){
int n,m,e;
cin>>n>>m>>e;
for(int i=1;i<=e;i++){
int a,b;
cin>>a>>b;
add(a,b);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
memset(v,0,sizeof v);
if(dfs(i)) ans++;
}
cout<<ans;
return 0;
}
网络流
最大流、最小费用最大流、最小割
Dinic（最大网络流=最小割）
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=2e3+5,INF=0x3f3f3f3f;
int nxt[N],h[M],w[N],ver[N],co=1;
int n,m,s,t;
int d[M],no[M];
inline int read(){
int sum=0,f=1;char a=getchar();
while(a<'0' || a>'9'){if(a=='-') f=-1;a=getchar();}
while(a>='0' && a<='9') sum=sum*10+a-'0',a=getchar();
return sum*f;
}
void add(int x,int y,int z){
nxt[++co]=h[x],h[x]=co,ver[co]=y,w[co]=z;
nxt[++co]=h[y],h[y]=co,ver[co]=x,w[co]=0;
}
bool bfs(){
memset(d,0,sizeof d);
queue<int> q;
q.push(s);
d[s]=1,no[s]=h[s];
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(!d[y] && w[i]){
d[y]=d[x]+1;
no[y]=h[y];
q.push(y);
if(y==t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int x,int flow){
if(x==t) return flow;
int rest=flow,k,i;
for(i=no[x];i && rest;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(d[y]==d[x]+1 && w[i]){
k=dfs(y,min(rest,w[i]));
if(!k) d[y]=0;
w[i]-=k;
w[i^1]+=k;
rest-=k;
}
}
no[x]=i;
return flow-rest;
}
int main(){
n=read(),m=read();
s=1,t=n;
for(int i=1;i<=m;++i){
int x=read(),y=read(),z=read();
add(x,y,z);
}
int ans=0,flow=0;
while(bfs())
while(flow=dfs(1,INF))
ans+=flow;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
EK（最小费用流）
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e3+5,M=1e5+5,INF=0x3f3f3f3f;
int nxt[M],h[N],ver[M],w[M],fl[M];
int n,m,s,t,co=1;//co=1!!!!!!!
bool vi[N];
int pre[N],dis[N];
inline int read(){
int sum=0,f=1;char a=getchar();
while(a<'0' || a>'9'){if(a=='-') f=-1;a=getchar();}
while(a>='0' && a<='9') sum=sum*10+a-'0',a=getchar();
return sum*f;
}
void add(int x,int y,int z,int d){
nxt[++co]=h[x],h[x]=co,ver[co]=y,w[co]=z,fl[co]=d;
nxt[++co]=h[y],h[y]=co,ver[co]=x,w[co]=-z,fl[co]=0;
}
bool spfa(){
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
memset(vi,0,sizeof vi);
queue<int> q;
vi[s]=1,dis[s]=0;
q.push(s);
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
vi[x]=0;
for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(dis[y]>dis[x]+w[i] && fl[i]){
pre[y]=i;
dis[y]=dis[x]+w[i];
if(vi[y]) continue;
vi[y]=1;
q.push(y);
}
}
}
if(dis[t]==INF) return 0;
return 1;
}
int main(){
n=read(),m=read(),s=read(),t=read();
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,z,d;
x=read(),y=read(),d=read(),z=read();
add(x,y,z,d);
}
int flow=0,ans=0;
while(spfa()){
int p,mi=INF;
for(int i=t;i!=s;i=ver[p^1]){
p=pre[i];
mi=min(mi,fl[p]);
}
for(int i=t;i!=s;i=ver[p^1]){
p=pre[i];
fl[p]-=mi;
fl[p^1]+=mi;
ans+=w[p]*mi;
}
flow+=mi;
}
cout<<flow<<" "<<ans;
return 0;
}
上下界网络流
无汇源上下界可行流
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+5,INF=0x3f3f3f3f;
int h[N],nxt[N],ver[N],w[N],co=1;
int in[N],out[N];
int c[N],D[N];
int s,t,n,m;
int d[N],no[N];
void add(int x,int y,int z){
nxt[++co]=h[x],h[x]=co,ver[co]=y,w[co]=z;
nxt[++co]=h[y],h[y]=co,ver[co]=x,w[co]=0;
}
bool bfs(){
memset(d,0,sizeof d);
queue<int> q;
q.push(s);
d[s]=1,no[s]=h[s];
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(!d[y] && w[i]){
d[y]=d[x]+1;
no[y]=h[y];
q.push(y);
if(y==t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int x,int flow){
if(x==t) return flow;
int rest=flow,k,i;
for(i=no[x];i && rest;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(d[y]==d[x]+1 && w[i]){
k=dfs(y,min(rest,w[i]));
if(!k) d[y]=0;
w[i]-=k;
w[i^1]+=k;
rest-=k;
}
}
no[x]=i;
return flow-rest;
}
int main(){
int a,b;
cin>>n>>m;
s=n+1,t=s+1;
for(int i=1;i<=m;++i){
cin>>a>>b>>c[i]>>D[i];
add(a,b,D[i]-c[i]);
in[b]+=c[i],out[a]+=c[i];
}
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(in[i]>out[i]) add(s,i,in[i]-out[i]),sum+=in[i]-out[i];
if(out[i]>in[i]) add(i,t,out[i]-in[i]);
}
int ans=0,flow=0;
while(bfs()){
while(flow=dfs(s,INF)) ans+=flow;
}
if(ans!=sum){
cout<<"NO";
return 0;
}
cout<<"YES"<<endl;
for(int i=2;i<=m*2;i+=2)
cout<<D[i/2]-w[i]<<endl;
return 0;
}
有汇源有上下界最小流
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=2e3+5,INF=0x3f3f3f3f;
int nxt[N],h[M],w[N],ver[N],co=1;
int n,m,s,t;
int in[N],out[N];
int d[M],no[M];
void add(int x,int y,int z){
nxt[++co]=h[x],h[x]=co,ver[co]=y,w[co]=z;
nxt[++co]=h[y],h[y]=co,ver[co]=x,w[co]=0;
}
bool bfs(){
memset(d,0,sizeof d);
queue<int> q;
q.push(s);
d[s]=1,no[s]=h[s];
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(!d[y] && w[i]){
d[y]=d[x]+1;
no[y]=h[y];
q.push(y);
if(y==t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int x,int flow){
if(x==t) return flow;
int rest=flow,k,i;
for(i=no[x];i && rest;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(d[y]==d[x]+1 && w[i]){
k=dfs(y,min(rest,w[i]));
if(!k) d[y]=0;
w[i]-=k;
w[i^1]+=k;
rest-=k;
}
}
no[x]=i;
return flow-rest;
}
int dinic(){
int ans=0,flow=0;
while(bfs()){
while(flow=dfs(s,INF)) ans+=flow;
}
return ans;
}
int main(){
int a,b,c,d;
cin>>n;
s=n+1,t=s+1;
while(cin>>a>>b>>c>>d){
add(a,b,d-c);
in[b]+=c,out[a]+=c;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
if(in[i]>out[i]) add(s,i,in[i]-out[i]);
if(out[i]>in[i]) add(i,t,out[i]-in[i]);
}
add(n,1,INF);
dinic();
int t1=INF-w[co^1];
s=n,t=1,w[co]=0,w[co^1]=0;
int t2=dinic();
cout<<t1-t2;
return 0;
}
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