Solution - NOI 2022

有个题叫「POI2014」Couriers，这个题启示我们实际上问题等价于询问哪个数出现次数最多，最后只需要判断是否超过一半即可。

考虑线段树，对于一个序列，开一棵线段树维护上面的权值，单个序列的查询可以在线段树上面走，选择大的那一边走下去，最后的就是答案，多个序列可以考虑 \(m\) 个线段树一起走，同样选择大的一边，注意到 \(\sum m\le 5\times 10^5\)，所以这样做复杂度是对的。

查询解决了，接下来考虑修改，修改在线段树上的影响不过是单点改和合并，这些都是简单的，但是注意到我们要维护每个序列的末尾，以及合并两个序列，可以使用启发式合并做到 \(O(n\log n)\)。

更优的想法是，可以使用链表的形式来维护，因为我们只需要知道末尾元素，而合并操作可以直接把一个链表的尾部元素的 next 指针指向另一个链表的开头元素，从而做到线性。

总时间复杂度线性对数，但是据说有高论可以做到线性，我还不会。

赛时我实现了这个做法，但是因为不明原因的链表写挂，所以只有 \(75\) 分。

提示里面写的很好，本题需要使用树哈希，考虑到树哈希的本质是将一个子树映射成一个数值，也就是可以方便地判断两个子树是否相等，由此我们考虑一个构造过程：

首先使用树哈希求出两棵树（下文分记为 \(T_1,T_2\)）每一棵子树的哈希值，考虑如何匹配两棵树的子树，一个显然的事情是，我们希望被匹配的两棵子树得是同构的，那么我们先将这些同构的找出，剩下的子树存起来。

注意到 \(T_1\) 剩余的子树个数一定需要大于等于 \(T_2\) 剩余的子树个数，同时 \(T_1\) 剩余的子树个数必须且必定 \(\le k\)，否则无解。

考虑将 \(T_1\) 与 \(T_2\) 剩余的子树进行匹配并重复递归执行上述过程，我们希望求出某一个匹配，其中删点数量恰为某一个值，但是实际上我们并不能快速计算这个东西，所以只能暴力枚举 \(k!\) 种匹配递归。

由此，我们得到了一个 \(O(n\log n+k!n)\) 的算法，可以通过。

笔者没有学过树哈希，所以考场上编造了一个树哈希算法，其表现不错，可以拿到 \(92\) 分，这里就不说了，下面是几个可能可以通过的树哈希算法（笔者也没有具体实现）：

• 钦定一个 \(B\)，满足 \(B>>h_i\)，在求 \(h_u\) 的过程中排序儿子的 \(h\)，从小到大执行一个类似字符串哈希的过程，即求出 \(\sum h_v\times B^i\)，然后加上 \(u\) 的信息。
• 将树转成括号序列后，对于括号序列进行字符串哈希。