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第二部分 数量关系

作者：互联网

数量关系知识目录

第一章 解题技巧
第二章 等差数列
第三章 方程与不定方程
第四章 工程问题
第五章 行程问题
第六章 经济利润问题
第七章 容斥问题
第八章 几何问题
第九章 排列组合
第十章 概率问题
第十一章 最值问题
第十二章 时间问题

第一章 解题技巧

第一节 代入排除法

1.选项信息充分的题目
2.多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程问题等
3.无法正面入手的题目，可以考虑代入排除


2A + 5B = 4C
2A(偶数)、4C(偶数)
偶数+偶数=偶数
所以5B也应该为偶数，5已经是奇数，所以B应为偶数

第二节 数据特性法

1.奇偶运算基本法则
	奇数±奇数=偶数	 偶数±偶数=偶数
	奇数±偶数=奇数	 奇数×奇数=奇数
	奇数×偶数=偶数	 偶数×偶数=偶数
	

整除（余数）特性
整除判定基本法则：
	（1）2，4，8 整除及其余数判定法则
		一个数能被2(或者5)整除，当且仅当末一位数字能被2(或者5)整除；
		一个数能被4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者25)整除；
		一个数能被8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者125)整除；
		
	（2）3，9 整除判定基本法则
		一个数字能被3（或者9）整除，当且仅当其各位数字之和能被3（或者9）整除；
		

倍数特性（比例型）
    如果a:b=m:n（m，n 互质） ，
    则
    	1：a 是 m 的倍数；b 是 n 的倍数；
    	2：a±b 是 m±n 的倍数。

第三节 赋值法

赋值法指赋值给某些量一个容易计算的数值，从而简化题目运算量的方法。
	1. 适用题型：
		（1）题目中未给出明确数值，出现了较多的分数、百分数、比例等。
		（2）工程问题、行程问题、经济利润问题、溶液问题等比例问题题型；这一部分问题通常有“A=B×C”的式子，在该式中如果只给定了其中一个量或者未给定任何一个量的时候，可采用赋值法。

第四节 枚举归纳法

枚举：将所有需要情况逐个列举。
归纳：在数量关系中，往往可以从最初开始枚举出第一步、第二步、第三步，然后探索、猜测规律，再通过下一步验证，如果未遇反例，就基本可以确定规律。

第二章 等差数列

基础知识：
	等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
	
常考的量：
	公差d：后一项与前一项的差值
	项数n：首项a1、末项an、
	前n项和：Sn
	
核心计算：
	通项公式：an=a1+（n-1）d
		例：an是公差为3的等差数列，若a1=3，则a5=？ an=?
		推论1：在等差数列中，任意两项的差等于下角标之差乘以公差am-an=（m-n）d
		推论2：在等差数列中，若下角标m+n=p+q，则am+an=ap+aq

	首位项求和公式：
		例：an是等差数列，a1=4，a17=36，求S17=？：
		Sn = (a1+an)/2 * d
		
	基本求和公式：
		Sn = (a1+an)/2 * d
		Sn = a1*n + (n*(n-1))/2 * n
	
	中项求和公式：
		Sn=中间项*项数（n为奇数项）
		Sn =中间两项和*项数的一半（n为偶数项）

第三章-方程与不定方程

第1节 基本方程思想

一、解题步骤：
	设未知数——列方程——解方程
	
二、设未知数的方法：
	1.缺啥设啥；
	2.比例关系；
	3.设中间变量、份数；

三、解方程：
	（1）基本方程--移项
	（2）基本方程组

基本方程（组）解题方法：
	1. 代入消元法
	2. 加减消元法

第二节 不定方程

特点：未知数的个数多于方程个数
不定方程（组）解题方法：
    1.代入排除；
    2.奇偶特性、倍数特性、尾数特性；
    3.赋“0”法。

第四章 工程问题

第一节 基本工程问题

第二节 给定时间型

特征：给多个完成时间

方法：
	赋工作量（时间的公倍数）
	计算效率（效率=工作量÷时间）
	列方程求解

第三节 效率比例型

特征：给多个效率的比例关系

方法：
	赋效率（按比例赋）
	计算工作量（工作量=效率×时间）
	列方程求解

常见的比例形式：
	1.甲、乙的效率比为3：4
	2.甲的效率是乙的3/4（75%）
	3.甲4天的工作量等于乙3天的工作量
	4.给多个人或多台机器，默认每人/每台机器效率相同

第五章 行程问题

第一节 基础公式型

1.直接用公式
	s = vt


2.等距离平均速度公式
	公式：
	



3.火车过桥
	火车过桥：路程=桥长+火车长；
	火车完全在桥上：路程=桥长-火车长


第二节 相遇追及类

直线相遇问题：S和 = (v1 + v2)t相遇 （反向运动）

直线追及问题：S差 = (v1 - v2)t追及 （同向运动）

环形相遇问题：S和 = (v1 + v2)t相遇 （反向运动）

环形追及问题：S差 = (v1 - v2)t追及 （同向运动）

第三节 两端出发多次相遇

Sn: 路程和；
S：两端距离
n：相遇次数

Sn = (2n-1) S

第四节 流水行船类

1.核心公式：路程 = 速度 * 时间
	S顺 = V顺 * T顺
	S逆 = V逆 * T逆

2.
	顺流速度 = 船速 + 水速
	逆流速度 = 船速 - 水速

ps：
	船速指在静水中的船速；水速指水自然流淌速度

第五节 牛吃草问题

判定：工作总量会随时间而变化（排比句）。
	1.从表象上看：都是排比句，比如“10 头牛30 天吃完，20头牛10天吃完，问30 头牛几天吃完”。
	2.从本质上看：有出水口、有进水口，有牛吃的量、有草长的量，有两个量在变化，导致工作总量随时间会有变化。
	
原有草量 =（牛吃-草长）* 时间 = 每天纯减少量 * 时间
公式：Y =（N-X）* T
    Y：原有草量，
    N：牛的头数*牛吃草速度（一头牛单位时间吃草的速度：一般设为1）
    X：草生长的速度，
    T：时间

第六章 经济利润问题

第一节 基础公式型

基本公式：
	总售价 = 单价 * 销售量
	利润 = 售价 - 成本； 
	总利润 = 总售价 - 总成本
	利润率 = 利润/成本 = (售价 - 成本)/成本 = 售价/成本 - 1

第二节 分段计费型

第三节 利润最大化

y = (50 - x) * (100 + 5x) 求当x为多少时，y取到最大值
	一正一负
	系数为1
	相等

第七章 容斥问题

第一节 两者容斥

核心公式：I = A+B - AB + M
常用方法：公式法、画图法

第二节 三者容斥

1.核心公式：

​ 公式1：I = A+B+C - A$\cap$B - A$\cap$C - B$\cap$C + A$\cap$B$\cap$C + M

​ 公式1：I = A+B+C - 只满足两种的个数 - 2 × A$\cap$B$\cap$C + M

第八章 几何问题

第一节 平面几何

一、基本公式：

1.周长公式

​ C正方形 = 4a

​ C长方形 = 2(a + b)

​ C圆 = 2πr

2.面积公式

​ S正方形 = a2

​ S长方形 = ab

​ S圆 = πr2

​ S梯形 = $\frac{1}{2}$(a + b)h

​ S菱形 = $\frac{1}{2}$ab (a, b)为对角线长度

​ S扇形 = nπr2 / 360 = $\frac{1}{2}$lr (n为弧长所对圆心角，l为弧长)

二、基本性质

  1. 常用的相似三角形的判定定理（常用）：
    a.两组对应角分别相等的两个三角形相似；
    b.三边对应成比例的两个三角形相似；

  2. 若将一个图形尺寸扩大为N 倍，则：
    a.对应角度不变；
    b.对应周长变为原来的N 倍
    c.面积变为原来的N2
    d.体积变为原来的N3
    直角三角形
    勾股定理

    ​ 3 4 5

    ​ 6 8 10

    ​ 9 12 15

    ​ 5 12 13

    ​ ......

第二节 立体几何

基本公式：

1.表面积公式

​ S正方体 = 6a2

​ S长方体 = 2（ab + bc + ac)

​ S球表面积 = 4πr2

​ S圆柱底面积 = 2πr2

​ S圆柱侧面积 2πrh

​ S圆柱体 = 2πr2 + 2πrh

2.体积公式

​ V正方体 = a3

​ V球 = $\frac{4}{3}$πR3

​ V长方体 = abc

​ V圆柱 = πR2h

​ V锥体 = $\frac{1}{3}$S底h

第九章 排列组合

第一节 基础排列组合

1.分类与分步
	沈阳 ---> 西安			
		3趟高铁						
		2趟飞机
		3+2=5种方法

	沈阳 ---> 北京 ---> 西安
		沈阳到北京3趟高铁
		北京到西安2趟飞机
		3*2 = 6种方法


2.排列也组合
	排列
		从25个人中选出正副班长
		有先后顺序的叫做排列

	组合
		从25个人中选出两个人打扫卫生
		无先后渡口村的叫做组合

第二节 特殊排列组合

1.捆绑法：主体必须相邻、在一起
	技巧：先把相邻主体进行内部排序，再把其捆绑看作一个整体和剩余主体进行排序	

2.插空法：主体不相邻、不在一起
	技巧：先将其他主体排好，再将不相邻的主体进行插空

3.隔板法：相同物品分配，至少每份分得一个，可直接用隔板法。	

4.错位重排：有n个元素和n个位置，每个元素的位置与元素本身的序号都不同，放错位置。
	常用结论：n个元素对应的错位排列情况为D1=0种，D2=1种，D3=2种，D4=9种，D5=44种，……
	错排公式：Dn = (n-1)(Dn-2+Dn-1)  (n≥3)

结论：将n个相同的物品，分给m个人，每个人至少得1个，则共有

第十章 概率问题

第一节 古典概率

$$
P = \frac{满足条件的情况数}{总情况数}
$$

第二节 分类分步概率

1. 分类概率
	某项任务可以在多种情况下完成，则分别求解满足条件的每种情形的概率，然后将所有概率值相加。
	
2. 分步概率
	某项任务必须按照多个步骤完成，则分别求解特定条件下每个步骤的概率，然后将所有概率值相乘。

第十一章 最值问题

第一节 最不利构造

题目特征：至少……才能保证……
解题方法：最不利情形＋1

第二节 数列构造

题型特征：
	“最多（少）……最少（多）……”、
	“排名第……最多（少）……”时
	
解题方法：定位——构造——求和。
	例如：100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样，那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加？
	（1）设谁为x？
	（2）构造数列：
	（3）列方程

第三节 容斥极值

题目特征：出现“都……至少……”时

解题方法：

​ A$\cap$Bmin = A + B - I

​ A$\cap$B$\cap$Cmin = A + B + C -2I

​ A$\cap$B$\cap$C$\cap$Dmin = A + B + C + D -3I

​ ......

第十二章 时间问题

第一节 年龄问题

特征：
	过N年，每人都长N岁
	两人年龄差保持不变

第二节 星期日期问题

1.平年与闰年
	四年一闰，百年不闰，四百年再闰。

2.大月与小月
	大月31天(1、3、5、7、8、10、12)
	小月30天(4、6、9、11)
	2月28-平年(29-闰年)天

第三节 钟表问题

  1. 表盘一周为360°，分针的旋转速度为6°/分钟，时针的旋转速度为0.5°/分
    钟。
  2. 快慢钟的核心是比值不变。

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来源： https://www.cnblogs.com/jingxian666/p/16596793.html