【组成原理-数据】定点数的编码与运算
作者：互联网
1 定点数的编码
1.1 编码的种类
定点数编码有四种：
- 原码：最高位表示真值的符号（1 表示负，0 表示正），其余各位表示真值的绝对值
【注 1】设原码字长为 n（即有 n 位），则原码整数的表示范围为
-(2n-1-1) ≤ x ≤ +(2n-1-1)【注 2】设原码字长为 n（即有 n 位），则原码小数的表示范围为
-(1-2-(n-1)) ≤ x ≤ +(1-2-(n-1))【注 3】原码全 0，对应真值的最小值
-(2n-1)；原码全 1，对应真值的最大值+(2n-1-1)【注 4】0 的表示不唯一，分正负零（0,000,0000 和 1,000,0000）
- 反码：正数的反码与原码一样，负数的反码其数值部分全部取反
【注 1】设反码字长为 n（即有 n 位），则反码整数的表示范围为
-(2n-1-1) ≤ x ≤ +(2n-1-1)【注 2】设反码字长为 n（即有 n 位），则反码小数的表示范围为
-(1-2-(n-1)) ≤ x ≤ +(1-2-(n-1))【注 3】反码全 0，对应真值的最小值
-(2n-1)；反码全 1，对应真值的最大值+(2n-1-1)【注 4】0 的表示不唯一，分正负零（0,000,0000 和 1,111,1111）
- 补码（带符号整数）：正数的补码与反码一样，负数的补码等于反码加 1
【注 1】设补码字长为 n（即有 n 位），则补码整数的表示范围为
-(2n-1) ≤ x ≤ +(2n-1-1)【注 2】设补码字长为 n（即有 n 位），则补码小数的表示范围为
-1 ≤ x ≤ +(1-2-n)【注 3】补码全 0，对应真值的最小值
-(2n-1)；补码全 1，对应真值的最大值+(2n-1-1)【注 4】0 的表示唯一（0,000,0000）
【注 5】若补码的符号位相同，则数值位越大码值越大
- 移码：真值基础上加上一个偏置常数（取 2n）
【注 1】设移码字长为 n（即有 n 位），则移码整数的表示范围为
-(2n-1) ≤ x ≤ +(2n-1-1)【注 2】移码全 0，对应真值的最小值
-2n；移码全 1，对应真值的最大值+(2n-1)【注 3】0 的表示唯一（1,000,0000）
【注 4】移码保持了数据原有的大小顺序，移码大真值就大，移码小真值就小
| 真值 | 补码 | 移码 |
|---|---|---|
| -128 | 1000,0000 | 0000,0000 |
| -127 | 1000,0001 | 0000,0001 |
| -126 | 1000,0010 | 0000,0010 |
| ... | ... | ... |
| -2 | 1111,1110 | 0111,1110 |
| -1 | 1111,1111 | 0111,1111 |
| 0 | 0000,0000 | 1000,0000 |
| 1 | 0000,0001 | 1000,0001 |
| 2 | 0000,0010 | 1000,0010 |
| ... | ... | ... |
| 125 | 0111,1101 | 1111,1101 |
| 126 | 0111,1110 | 1111,1110 |
| 127 | 0111,1111 | 1111,1111 |
1.2 编码的转换
- 正数：
原码 --（不用变）--> 反码 --（不用变）--> 补码 --（符号位取反）--> 移码 - 负数：
原码 --（数值部分取反）--> 反码 --（直接加 1）--> 补码 --（符号位取反）--> 移码 - 负数：
原码 <--（从右往左找第一个“1”，“1”左边所有数值位取反）--> 补码 - 补码转真值：最高的符号位有负值加权，例：
[1,000,0011]补 = (-27+21+20)10 = (-125)10
【例 1】(-100)10 的编码转换（默认 8 位字长）
先化为十六进制，再转换为二进制：(100)10 = (64)16 = (0110,0100)2
（1）原码：1,110,0100
（2）反码：1,001,1011
（3）补码：1,001,1100
（4）移码：0,001,1100
【例 2】(1,000,1101)2（默认 8 位字长），若为（1）原码；（2）反码；（3）补码；（4）移码，求对应真值？
（1）原码：1,000,1101 --> 转换为十六进制：1(-),000(0),1101(13) --> 转换为十进制：(-13)10
（2）反码：1,000,1101 --> 原码：1,111,0010 --> 转换为十六进制：1(-),111(7),0010(2) --> 转换为十进制：-(16*7+2)10 = (-114)10
（3）补码：1,000,1101 --> 原码：1,111,0011 --> 转换为十六进制：1(-),111(7),0011(3) --> 转换为十进制：-(16*7+3)10 = (-115)10
（4）移码：1,000,1101 --> 补码：0,000,1101 --> 转换为十六进制：0(+),000(0),1101(13) --> 转换为十进制：(+13)10
1.3 C 语言的强制转换
- 相同字长下，有符号数与无符号数的转换：保持位值不变，仅改变解释位值的方式
- 长字长转换短字长：多余的高位直接丢弃，低位直接赋值
- 短字长转换长字长：无符号情况下，扩展的高位部分用 0 填充；有符号情况下，扩展的高位部分用原数字符号填充
【例】16 位补码 0x8FA0 扩展为 32 位是 0xFFFF 8FA0。
【补充】C 语言数据类型：
- char：字长 8 位（1 字节）
- short：字长 16 位（2 字节）
- int：字长 32 位（4 字节）
- long：字长 64 位（8 字节）
【注】8 bit = 1 Byte
2 定点数的运算
2.1 定点数的移位
移位有三种：算术移位、逻辑移位、循环移位。
2.1.1 算术移位（有符号数）
【规则】
- 算术移位过程中，符号位均保持不变。
- 正数的算术移位：原码、补码、反码算术移位，空位添 0
- 负数原码的算术移位：用 0 占据空位
负数的原码数值部分与真值相同，因此移位时符号位不变，其余空位添 0
- 负数反码的算术移位：空位添 1
负数的反码数值部分与负数的原码相反，因此移位时其余空位添相反的数，即为 1
- 负数补码的算术移位：算术左移，低位空位添 0；算术右移，高位空位添 1
负数的原码转补码，从右往左（从低到高）找到第一个“1”，这个“1”的左边（符号位除外）与原码相反，故空位添相反的数，即为 1；右边与原码相同，故空位仍添 0
【例】负数补码的算术移位
算术右移 1 位：1,110,0110 >> 1 = 1,111,0011
算术右移 2 位：1,110,0110 >> 2 = 1,111,1001
算术左移 1 位：1,110,0110 << 1 = 1,100,1100
算术左移 2 位：1,110,0110 << 1 = 1,001,1000
2.1.2 逻辑移位（无符号数）
【规则】
- 逻辑移位将操作数视为无符号数
- 逻辑左移：高位丢弃，低位添 0
- 逻辑右移：低位丢弃，高位添 0
2.1.3 循环移位
【规则】
- 不带进位的循环左移：高位溢出的数填充回低位，且高位溢出的数还要存入进位标志位 CF
- 不带进位的循环右移：低位溢出的数填充回高位，且低位溢出的数还要存入进位标志位 CF
- 带进位的循环左移：CF 的值填充回低位，且高位溢出的数还要存入进位标志位 CF
- 带进位的循环右移：CF 的值填充回高位，且低位溢出的数还要存入进位标志位 CF
- 循环移 n 位：相当于进行 n 次的循环移 1 位
- 一般用途：将数据的低字节数据与高字节数据互换位置
【例】一个 8 位寄存器内的数值为 0100,1011，进位标志位 CF=1，若（1）带进位循环左移一位；（2）带进位循环右移一位；（3）不带进位循环左移一位；（4）不带进位循环右移一位，结果是多少？
【注】括号内的英文表示该数值位是从 CF、数值的高位（HIGH）还是数值的低位（LOW）移进来的。
（1）带进位循环左移一位：100,1011,1 (CF)；CF = 0 (HIGH)
（2）带进位循环右移一位：1 (CF),0100,101；CF = 1 (LOW)
（3）不带进位循环左移一位：100,1011,0 (HIGH)；CF = 0 (HIGH)
（4）不带进位循环右移一位：1 (LOW),0100,101；CF = 1 (LOW)
2.2 定点数的加减法
2.2.1 补码的加减法
- 加法运算：补码直接相加
- 减法运算：被减数-减数，减数转换为其负数的补码，转换为加法运算进行
【例】A = 15，B = 28，计算 [A+B]补，[A-B]补
转换为二进制：A = (15)10 = (000,1111)2, B = (28)10 = (001,1100)2
[A]原= 0,000,1111, [B]原= 0,001,1100
[A]补= 0,000,1111, [B]补= 0,001,1100, [-B]补= 1,110,0100
[A+B]补 = 0,000,1111 + 0,001,1100 = 0,010,1011 = (+43)10
[A-B]补 = 0,000,1111 + 1,110,0100 = 1,111,0011 = (-13)10
2.2.2 溢出的判别
发生溢出的情况：
- 两个同号数相加
- 两个异号数相减
【模 2 补码】有一个符号位的补码，即正常的补码。
【模 4 补码（变形补码）】有两个符号位 S1S2 的补码，“00”表示正数，“11”表示负数，如：
- -3：补码：1,101；变形补码：11,101
- +3：补码：0,011；变形补码：00,011
若两个符号位不同，“01”表示正溢出，“10”表示负溢出，最高位符号位表示真正的符号。
实际情况下，存储每个变形补码仅需一个符号位，因为无论正数还是负数，两个符号位都是一样的，只有在运算时才会出现不一样的情况。
- 溢出标志位 OF = 1 时，说明发生了溢出
- OF = 最高位（即符号位）进位 ⊕ 次高位（即数值的最高位）进位 = S1⊕ S2
2.3 定点数的乘除法
2.3.1 原码的乘法
设[X]原=xs.x1x2...xn，[Y]原=ys.y1y2...yn，原码一位乘法 X*Y 的规则如下：
- 符号位 = xs ⊕ ys
- 部分积 = X * yi
- 部分积初值为 0。从 Y 的最低位 yn 开始，
部分积 = 部分积 + yn * |X|，然后将部分积和 Y 逻辑右移一位。该步骤重复 n 次，进行加法运算也为 n 次
【例】x = -0.1101，y = 0.1011，进行原码一位乘法 x * y：
| 操作 | 通用寄存器（被乘数） | ACC（高位部分积） | MQ（低位部分积/乘数） | MQ 丢失 |
|---|---|---|---|---|
| 初始状态，乘数 y=00.1011 | 00.1101 | 00.0000 | 1011 | |
| step1. 乘数最低位为 1，ACC 加 |X| | 00.1101 | 00.1101 | 1011 | |
| step1. 部分积（和乘数）逻辑右移一位 | 00.1101 | 00.0110 | 1101 | 1 |
| step2. 乘数最低位为 1，ACC 加 |X| | 00.1101 | 01.0011 | 1101 | 1 |
| step2. 部分积（和乘数）逻辑右移一位 | 00.1101 | 00.1001 | 1110 | 11 |
| step3. 乘数最低位为 0，ACC 加 0 | 00.1101 | 00.1001 | 1110 | 11 |
| step3. 部分积（和乘数）逻辑右移一位 | 00.1101 | 00.0100 | 1111 | 011 |
| step4. 乘数最低位为 1，ACC 加 |X| | 00.1101 | 01.0001 | 1111 | 011 |
| step4. 部分积（和乘数）逻辑右移一位 | 00.1101 | 00.1000 | 1111 | 1011 |
符号位 = 1 ⊕ 0 = 1
x * y = -0.10001111
2.3.2 补码的乘法
设[X]补=xs.x1x2...xn，[Y]补=ys.y1y2...yn，补码一位乘法 X*Y 的规则如下：
- 部分积、被乘数采用双符号位补码；乘数采用单符号位补码
- 符号位参与运算
- Y 增设辅助位 yn+1 = 0
- 部分积初值为 0。从 Y 的最低位 yn 开始：当
(ynyn+1) = (01)，部分积 = 部分积 + [X]补；当(ynyn+1) = (10)，部分积 = 部分积 + [-X]补；其他情况加 0。然后将部分积和 Y 算术右移一位 - 以上步骤重复 n+1 次，但最后一次不用移位。所以需要加法运算 n+1 次，移位 n 次
【例】x = -0.1101，y = 0.1011，进行补码一位乘法 x * y：
[x]补 = 11.0011，[-x]补 = 00.1101，[y]补 = 0.1011
| 操作 | 通用寄存器（被乘数） | ACC（高位部分积） | MQ（低位部分积/乘数） | MQ（辅助位） | MQ 丢失 |
|---|---|---|---|---|---|
| 初始状态，乘数 y=00.1011 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 00.0000 | 01011 | 0 | |
| step1. 乘数最低位和辅助位为 10，ACC 加 [-X]补 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 00.1101 | 01011 | 0 | |
| step1. 部分积（和乘数）算术右移一位 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 00.0110 | 10101 | 1 | 0 |
| step2. 乘数最低位和辅助位为 11，ACC 加 0 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 00.0110 | 10101 | 1 | 0 |
| step2. 部分积（和乘数）算术右移一位 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 00.0011 | 01010 | 1 | 10 |
| step3. 乘数最低位和辅助位为 01，ACC 加 [+X]补 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 11.0110 | 01010 | 1 | 10 |
| step3. 部分积（和乘数）算术右移一位 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 11.1011 | 00101 | 0 | 110 |
| step4. 乘数最低位和辅助位为 10，ACC 加 [-X]补 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 00.1000 | 00101 | 0 | 110 |
| step4. 部分积（和乘数）算术右移一位 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 00.0100 | 00010 | 1 | 0110 |
| step5. 乘数最低位和辅助位为 01，ACC 加 [+X]补 | 11.0011 [负数: 00.1101] | 11.0111 | 00010 | 1 | 0110 |
注：最后的 MQ = 00010 的最低位为原符号位，不用
[x * y]补 = 11.01110001，x * y = -0.10001111
2.3.3 原码的除法
设[X]原=xs.x1x2...xn，[Y]原=ys.y1y2...yn，加减交替法（不恢复余数法）求 X/Y 的规则如下：
- 首先，|被除数| - |除数| = 新余数
- 若新余数为负：商 0，余数左移，然后加|除数|，得到新余数
- 若新余数为正：商 1，余数左移，然后减|除数|，得到新余数
- 以上两个步骤重复 n+1 次，最后一次若余数为负，商 0，需加上|除数|得到正确余数
- 总的加法运算为 n+1 或 n+2 次，移位总次数为 n 次
【例】x = 0.1011，y = 0.1101，利用加减交替法求 x / y：
|x| = 0.1011，|y| = 0.1101，[|y|]补 = 0.1101，[-|y|]补 = 1.0011
| 操作 | 通用寄存器（除数） | MQ（被除数/部分余数） | MQ（商） |
|---|---|---|---|
| 初始状态：|x|=0.1011，|y|=0.1101 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 0.1011 | 0.0000 |
| step0. |x|-|y| | 0.1101 [负数: 1.0011] | 1.1110 | 0.0000 |
| step1. 部分余数为负，商 0 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 1.1110 | 0.0000 |
| step1. 部分余数和商左移一位 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 1.1100 | 0.0000 |
| step1. +|y| | 0.1101 [负数: 1.0011] | 0.1001 | 0.0000 |
| step2. 部分余数为正，商 1 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 0.1001 | 0.0001 |
| step2. 部分余数和商左移一位 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 1.0010 | 0.0010 |
| step2. -|y| | 0.1101 [负数: 1.0011] | 0.0101 | 0.0010 |
| step3. 部分余数为正，商 1 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 0.0101 | 0.0011 |
| step3. 部分余数和商左移一位 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 0.1010 | 0.0110 |
| step3. -|y| | 0.1101 [负数: 1.0011] | 1.1101 | 0.0110 |
| step4. 部分余数为负，商 0 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 1.1101 | 0.0110 |
| step4. 部分余数和商左移一位 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 1.1010 | 0.1100 |
| step4. +|y| | 0.1101 [负数: 1.0011] | 0.0111 | 0.1100 |
| step5. 部分余数为正，商 1 | 0.1101 [负数: 1.0011] | 0.0111 | 0.1101 |
| step6. 部分余数为正，不需要+|y| | 0.1101 [负数: 1.0011] | 0.0111 | 0.1101 |
x / y = +0.1101，余数 = 0.0111 * 2-4
2.3.4 补码的除法
设[X]补=xs.x1x2...xn，[Y]补=ys.y1y2...yn，加减交替法求 X/Y 的规则如下：
- 部分余数、被除数、除数采用双符号位补码
- 符号位参与运算
- 首先，若 X、Y 同号，则余数 = X - Y；若 X、Y 异号，则余数 = X + Y
- 若余数与 Y 同号，则商 1，余数左移，减去 Y
- 若余数与 Y 异号，则商 0，余数左移，加上 Y
- 重复以上两个步骤 n 次，商末位恒置 1
【例】x = 0.1000，y = -0.1011，利用加减交替法求 x / y：
[x]原 = 00.1000，[x]补 = 00.1000
[y]原 = 11.1011，[y]补 = 11.0101，[-y]补 = 00.1011
| 操作 | 通用寄存器（除数） | MQ（被除数/部分余数） | MQ（商） |
|---|---|---|---|
| 初始状态：x=00.1000，y=11.0101 | 11.0101 [负数: 00.1011] | 00.1000 | 0.0000 |
| step0. x、y 异号，+y | 11.0101 [负数: 00.1011] | 11.1101 | 0.0000 |
| step1. 部分余数与 y 同号，商 1 | 11.0101 [负数: 00.1011] | 11.1101 | 0.0001 |
| step1. 部分余数和商左移一位 | 11.0101 [负数: 00.1011] | 11.1010 | 0.0010 |
| step1. 部分余数-y | 11.0101 [负数: 00.1011] | 00.0101 | 0.0010 |
| step2. 部分余数与 y 异号，商 0 | 11.0101 [负数: 00.1011] | 00.0101 | 0.0010 |
| step2. 部分余数和商左移一位 | 11.0101 [负数: 00.1011] | 00.1010 | 0.0100 |
| step2. 部分余数+y | 11.0101 [负数: 00.1011] | 11.1111 | 0.0100 |
| step3. 部分余数与 y 同号，商 1 | 11.0101 [负数: 00.1011] | 11.1111 | 0.0101 |
| step3. 部分余数和商左移一位 | 11.0101 [负数: 00.1011] | 11.1110 | 0.1010 |
| step3. 部分余数-y | 11.0101 [负数: 00.1011] | 00.1001 | 0.1010 |
| step4. 部分余数与 y 异号，商 0 | 11.0101 [负数: 00.1011] | 00.1001 | 0.1010 |
| step4. 部分余数和商左移一位 | 11.0101 [负数: 00.1011] | 01.0010 | 1.0100 |
| step4. 部分余数+y（商末位恒置 1） | 11.0101 [负数: 00.1011] | 00.0111 | 1.0101 |
[x/y]补 = 1.0101，余数 = 0.0111 * 2-4
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